Mishna Berura Source Sheet 160:7

(ז) חמי טבריה יכול להטביל בהם את הידים אבל ליטול מהם בכלי לא:

חמי טבריא חזקיה אמר אין נוטלין מהם לידים אבל מטבילין בהן הידים ורבי יוחנן אמר כל גופו טובל בהן אבל לא פניו ידיו ורגליו השתא כל גופו טובל בהם פניו ידיו ורגליו לא כ"ש?

אמר רב פפא במקומן - דכולי עלמא לא פליגי דשרי משקל מינייהו במנא דכ"ע לא פליגי דאסיר...

With regard to the hot springs of Tiberias, Ḥizkiyya says that one may not wash his hands with water from them before eating, but if there are forty se’a, the requisite size of a ritual bath, then one may immerse the hands directly in them, and this is effective for the ritual of washing the hands before a meal. And Rabbi Yoḥanan says that an impure person may immerse his entire body in such water to become pure, but one may still not use it for the immersion of part of his body, such as his face, hands, and feet, as this immersion is not considered equivalent to washing the hands. The Gemara asks: Now that it has been said that one may immerse his entire body in the hot springs of Tiberias, is it not all the more so permitted for his face, hands, and feet?

Rav Pappa said: When the water in the hot springs stands in place, everyone, both Ḥizkiyya and Rabbi Yoḥanan, agrees that it is permitted to immerse one’s hands in it. Likewise, everyone agrees that to take from these waters in a vessel and wash one’s hands from it is prohibited...

ואם המשיך אותן בארץ דרך חריץ חוץ למקומן והפסיקן מהמעין הנובע [חם] אם יש בהם שיעור מקוה מטבילין בהם הידים ואם אין בהם שיעור מקוה לא.

When the water is disconnected from the mayan, it turns into any other mikvah and needs a shiur Mikva in order to use it for tevilas yadayim.

Since this new pool needs to have all of the halachic requirements of a Mikva, Shaar Tzion makes the point that the pipe that is bringing the water to the (disconnected) pool cannot have a problem of making it into mayim she'uvin, based on the Mishna in Mikvaos.

(ג) הַחוֹטֵט בְּצִנּוֹר לְקַבֵּל צְרוֹרוֹת, בְּשֶׁל עֵץ, כָּל שֶׁהוּא. וּבְשֶׁל חֶרֶס, רְבִיעִית. רַבִּי יוֹסֵי אוֹמֵר, אַף בְּשֶׁל חֶרֶס, כָּל שֶׁהוּא. לֹא אָמְרוּ רְבִיעִית אֶלָּא בְשִׁבְרֵי כְלֵי חֶרֶס. הָיוּ צְרוֹרוֹת מִתְחַלְחֲלִים בְּתוֹכוֹ, פּוֹסְלִים אֶת הַמִּקְוֶה. יָרַד לְתוֹכוֹ עָפָר וְנִכְבַּשׁ, כָּשֵׁר. סִלּוֹן שֶׁהוּא צַר מִכָּאן וּמִכָּאן וְרָחָב מִן הָאֶמְצַע, אֵינוֹ פוֹסֵל, מִפְּנֵי שֶׁלֹּא נַעֲשָׂה לְקַבָּלָה:

(3) If one makes a hollow in a water-spout to collect pebbles, its water disqualifies the mikveh; In the case of a wooden [spout] if it holds even a little, But in the case of an earthenware [spout] if it will hold a quarter-log. Rabbi Yose says: also in the case of an earthenware [spout] if it holds even a little: they have spoken of "a quarter-log" only in the case of broken sherds of an earthenware utensil. If the pieces of gravel moved about inside [the hollow], it disqualifies the mikveh. If dirt went down into it and was pressed down, [the mikveh continues to be] valid. If the spout was narrow at each end and wide in the middle, it does not disqualify [the mikveh] invalid, because it had not been made to gather anything in it.

The fact that this mikvah has to have 40 se'ah and is not sufficient with just being able to cover both hands, is a specific chumra with regards to Springs of Tiberias, see M.B. because there is a particular cheshash:

If we allow this water to be used for tevilas yadayim, people will come to see this Tiveria-mikvah as a regular water, and come to use it for netilas yadayim, which as we mentioned is prohibited according to R' Yochanan and Chizkiya (i.e. all opinions).

ואם חריץ זה מימיו מחוברים למי המעין הנובע חם לרש"י והרשב"א אין מטבילין בו את הידים ולהר"ר יונה מטבילין בו את הידים:

אמר רב פפא במקומן - דכולי עלמא לא פליגי דשרי משקל מינייהו במנא דכ"ע לא פליגי דאסיר

...כי פליגי דפסקינהו בבת בירתא מר סבר גזרינן בת בירתא אטו מנא ומר סבר לא גזרינן

They disagree when one draws the waters through a ditch. One Sage, Rabbi Yoḥanan, holds that we decree against the use of ditch water due to the concern that one might come to use water in a vessel, and one Sage, Ḥizkiyya, holds that we do not decree against it.

במקומן - בחיבורן אם בא להטביל ידיו בהן:

דאפסקינהו בבת בירתא - חריץ קצר והמים פונים שם ואין שם שיעור מקוה אבל מחוברין למקוה, דגזירה בעלמא הוא אטו מנא:

We passion like Chizkiya in the Gemara that the channel is not okay for tevilas yadayim.

While the reisha clearly disqualifies water in Teveria "in its place", the seifa discussing "the channel" isn't clear from the Gemara if we are discussing a channel that is connected to the Teveria springs or disconnected.

According to Rashi's understanding of the Gemara, we are referring to a channel which is connected to the springs, and even so it is not okay for tevilas yadayim according to Chizkiya.

Elya Rabba brings from Poskim who agree with Rashi.

(טו) [טו] [לבוש] יש פוסלין וכו'. כן כתב בית יוסף בשם רש"י ורשב"א דפירשו פלוגתא דחזקיה ורבי יוחנן במימיו מחוברין. ותימה לי על מה שכתב בית יוסף בשם הרשב"א סימן קנ"ט ד"ה המטביל בו זה לשונו, ואי קשיא לך אי בפחות מארבעים סאה איך תעלה לו טבילה ואפילו לידיו, ויש לומר לידיו כיון דסגי לה וכו', עד כאן. וקאי על פלוגתא הנזכר לעיל, מאי קושיא הא מיירי במחובר למעיין, וצריך עיון רב.

ולענין הלכה פסק הב"ח כרש"י ורשב"א ודייק מדקאמר הש"ס [חולין] דף ק"ו במקומן כולי עלמא לא פליגי דשרי ולא קאמר רבותא דאפילו בבת בירתא ומחוברין למקוה שרי, עד כאן.

ולעניות דעתי לאו ראיה דסבירא ליה כיון דמחוברין הן הוי במקומן. גם מה שכתב דבית יוסף כתב שכן נראה מדברי הטור תמיהני דפשט דברי הבית יוסף הם על דמשמע מדכתב רש"י ואין בו שיעור מקוה דמותר כשיש בו ארבעים סאה דנראה נמי הכי מטור שכתב נמי ואין בו שיעור מקוה ולא קאי כלל על הא דמחוברין. גם מאי דכתב דמשמע מדסתם הטור דאסור אף דמחוברין הוא דחוק ואדרבה מדשתיק מיניה משמע דשרי כמו שמותר לטבול בו כל הגוף וכשם שהוצרך רש"י לכתוב בהדיא כן היה לו לטור לכתבו וכמו שכתב הוא גופיה קודם זה, עיין שם. מיהו נראה לי ראיה מבוררת דסבירא ליה לטור כרש"י מדפסק בסימן קנ"ט סעיף י"ד כרמב"ם ורש"י דאפילו בשאר מים בעינן ארבעים סאה, אם כן פשיטא דאסור במי טבריא אם אין שיעור מקוה, אלא ודאי מיירי במחוברין ודו"ק, ולפי זה הוי רבינו יונה יחיד לגבי הרמב"ם ורש"י וטור, וכן תוס' דף ק"ו הביאו דברי רש"י:

However, the Mechaber brings Rabbeinu Yonah in Berachos who argues on Rashi's understanding of the Gemara that Chizkiya disqualifies even a mikvah that is less than 40 se'ah that's connected to a Mikvah from a deduction he makes from a Mishna in Mikvaos.

The Mishna says that a person can immerse his entire body in less than 40 se'ah connected to 40 se'ah, and we are not choshesh he will immerse in actually less than 40 se'ah shiur of mayim sheu'vin.

Similarly, one should be able to immerse their hands in less than 40 se'ah connected to a mayan (valid Mikva) and not be concerned that he will come to wash with this water for netilas yadayim?

(Although he goes ahead to defend Rashi's interpretation of the Gemara, apparently he is saying that just to explain where Rashi is coming from, but he himself argues. The implication is thus that R' Yonah explains the Gemara to mean that the machlokes is regarding a channel that is disconnected to the spring, but if it would be attached it would be valid for netilas yadayim, even according to Chizkiya)

חמי טבריא חזקיה אומר אין נוטלין מהם לידים וכו'. ואסיקנא דבמקומן כולי עלמא לא פליגי דשרי למשקל מיניה במנא כ"ע לא פליגי דאסיר ואיכא למידק דלעיל משמע שאפי' במים שהיד סולדת בהם נוטל מים ראשונים שלא אסרו מים שהיד סולדת בהם אלא במים אחרונים בלבד מפני שאין מעבירין את הזוהמא אבל במים ראשונים מותרין ואפי' בכלי ויש לומר דהכא לא אסרו אותן מפני החמימות אלא מפני שהם מרים ביותר שאפי' ע"י הדחק אין אדם יכול לשתותם וגם אינן ראוי לשתיית בהמה ולפיכך אסרו אותם בכלים אבל בחמי האור ודאי אפי' בכלי הם מותרים וכן במים אחרים שנובעים חמים כמו חמי טבריא כיון שאינם מרים כל כך כמותם שיכול האדם לשתות מהם ע"י הדחק יכול ליטול מהם בכלי. מפי מורי הרב נר"ו: כי פליגי דפסיק מינייהו בבת בירתא חזקיה סבר גזרינן בת בירתא אטו מנא וכו'. פי' בת בירתא חריץ שקרוב למקום המעין ופי' רש"י ז"ל דמיירי בשאין במים שבחריץ מ' סאה ושיש שם עירוב מקואות ממקום המעין לחריץ והוצרך לומר כן מפני שאם נפרש בשיש בו מ' סאה ודאי פשוט הוא לדברי הכל שטובל בהם ידיו שהרי כל גופו טובל בהם ידיו לא כל שכן והיאך היה אומר חזקיה דגזרינן בת בירתא אטו מנא וכי שייך למיגזר מקוה אטו כלי.

והוצרך ג"כ לפרש בשיש שם עירוב מקואות שאם אתה אומר דמיירי בלא עירוב כיון שאין שם לא ארבעים סאה ולא עירוב היאך היה אומר ר' יוחנן כל גופו טובל בהן דודאי לטבילת גופו צריך או מ' סאה בלא עירוב או עירוב אם אין שם מ' סאה אלא ודאי ע"י עירוב מיירי ובפחות ממ' סאה כדכתבי'.

ובזה נחלקו חזקיה ור' יוחנן דחזקיה סבר אע"פ שיש שם עירוב כיון שאין במים מ' סאה גזרי' שמא לא יתן אל לבו מהעירוב ויאמר "כמו שמותר לטבול בהם הידים בפחות ממ' סאה, ג"כ מותר ליטול מהם בכלי" ולא ישית אל לבו כי מרים הם ואיסור הכלי הוא מחמת המרירות ור' יוחנן סבר כיון שיש שם עירוב וראוין לטבילת כל הגוף לא גזרינן ביה אטו כלי.

ויש להקשות לפי' רש"י דמפרש ההלכה בשאין בו מ' סאה ויש שם עירוב מקואות, היאך היה אומר חזקיה דגזרי' גבי נטילת ידים בת בירתא אטו מנא, דא"כ בטבילת כל הגוף למה הוא מותר לד"ה לטבול בו הגוף [ע"י עירוב] ואע"פ שאין בו מ' סאה כדאיתא בהדיא במסכת מקואות דהוה לן למיגזר נמי בטבילת כל גופו במים אלו שאין בהן מ' סאה אטו מים שאובין?

ויש לתרץ דלא דמי נטילה לטבילה דבנטילה שדרך כל השנה ליטול בכלי כשרוחץ במים מתוקן יש לגזור שעכשיו לא יבין שהאיסור מחמת המרירות וכמו שדרכו כל השנה בכלי יבא ג"כ עכשיו ליטול בכלי אבל בטבילת הגוף שהכל יודעים שמים שאובין פוסלין אותה ואין דרך העולם לטבול כל גופו בהן ליכא למיגזר ואכתי איכא למידק בנטילת ידים עצמה למה לא נגזור בעירוב אטו שיבא להטבילה בפחות ממ' סאה (ואפי') [שלא ע"י] עירוב ומתרצינן דכיון שטבילת ידים לא שכיחא שאין דרך בני אדם להטביל ידיהם לא גזרו זו היא שיטת רש"י ז"ל ונפקא מינה שאין טבילה דידים מועילה אלא במים שראוין לטבול בהם כל גופו: