אוכלים ראש כבש לומר נהיה לראש ולא לזנב וזכר לאילו של יצחק: הגה יש מדקדקים שלא לאכול אגוזים שאגוז בגימטריא חט ועוד שהן מרבים כיחה וניעה ומבטלים התפלה (מהרי"ל) והולכין אל הנהר לומר פסוק ותשליך במצולות ים כל חטאתינו וגומר (מנהגים) וגם נוהגים שלא לישן ביום ראש השנה (ירושלמי) ומנהג נכון הוא:

(2) Eat a head of a lamb saying: Let us be as a head and not a tail. It is also a remembrance of the ram of Isaac. Rema: There are those who are careful not to eat nuts, as the word "egoz" in gematriah [is equal to the value of] chet (sin). They also cause a lot of excess saliva and phloem and cause abrogation of prayers. They also go to a river and say the verse: And Thou wilt cast all their sins into the depths of the sea (Micah 7:19). There are also those who do not sleep during Rosh Hashana during the day, and this is the correct thing to do.

מועדים וזמנים חלק א ל"ד:הערה א'

ועיקר היתר הוצאה ביום טוב לא נתברר לן, שהעולם נוהגין להוציא לא רק סידורים לתפלה שאינה אלא חיוב דרבנן, רק אפילו לתשליך בראש השנה שאינו אלא מנהג בעלמא, וכמה גדולי עולם זצ"ל לא נהגו לילך לנהר לתשליך, וכן הספרדים לא נהגו במנהג זה.

Hilchos Eretz Yisroel

It's a רמ"א, so מסתמא sefardim don't do תשליך.

שו"ת יחוה דעת חלק א נ"ו
תשובה: מנהג אמירת תשליך ביום ראשון של ראש השנה וטעמו ונימוקו, נזכר במנהגי מהרי"ל (הלכות ראש השנה דף ל"ח ע"א): שמנהג ללכת בראש השנה אצל ים או נהר להשליך במצולות ים כל חטאתינו, והטעם לזה, על פי מה שאמרו במדרש: שכאשר הלך אברהם אבינו עם יצחק אל הר המוריה להעלותו לעולה כאשר נצטוה מפי הקב"ה, קדמו שטן לדרך, והתחיל להסית את אברהם ולמונעו ממצות הבורא יתברך, וכאשר תוחלתו נכזבה וסירב אברהם לשמוע בקולו של השטן, (וכמבואר בסנהדרין פ"ט ע"ב), הלך השטן ונעשה לפניהם כנהר גדול כדי שלא יוכלו לעבור, אברהם ויצחק לא השגיחו בזה ונכנסו למים עד שהגיעו לצוארם, ואז נשא אברהם אבינו את עיניו למרום, ואמר: רבונו של עולם, אתה נגלית אלי ואמרת: קח נא את בנך את יחידך אשר אהבת את יצחק ולך לך אל ארץ המוריה והעלהו שם לעולה, ולא הרהרתי אחר דבריך ולא עיכבתי מאמריך, ועתה אם אנו טובעים בים מי ייחד את שמך הגדול? הושיעני אלקים כי באו מים עד נפש! מיד גער הקב"ה בשטן והלך לו. והנה מבואר בזוהר הקדוש (פרשת ויקרא י"ח) שעקידת יצחק היתה בראש השנה, ולכן קוראים בתורה בראש השנה בפרשת עקידת יצחק. ולכן מטעם זה גם כן נוהגים ללכת לנהר לומר תשליך, להזכיר זכות אברהם ויצחק ע"כ (וכן כתב בספר מטה משה סימן תת"כ). וראה בסידור אהלי יעקב לר"ה (דף קמ"ט ע"ב), שהביא טעם נוסף, ע"פ דברי הגמרא (הוריות י"ב ע"א), אין מושחים את המלכים אלא על יד המעין כדי שתימשך מלכותם, וכן אמר רב משרשיא לבניו, כשאתם גורסים בתלמוד, גירסו על שפת הים או על שפת הנהר, לסימן טוב, שכשם שהמים הללו נמשכים והולכים, כך תימשך גירסתכם ולא תשכחוה. ומכיון שאנו עושים הרבה דברים בראש השנה לסימן טוב, (כמבואר בהוריות יב ע"א וכריתות ה ע"ב, ובשלחן ערוך [א"ח] סי' תקפ"ג), לכן נוהגים גם כן ללכת על יד שפת הנהר לסימן טוב, שימשכו לנו חסדי השי"ת ורחמיו לכתוב אותנו לחיים טובים ולשלום. כמאמר הכתוב: הנני נוטה אליה כנהר שלום. וכן לערות עלינו רוח ממרום, וקבלת עול מלכות שמים תימשך עלינו כנהרות הללו. ועל כל פנים מנהג ישראל תורה הוא. וכן הובא מנהג אמירת תשליך בדברי הרמ"א בהג"ה [או"ח] (סי' תקפ"ג). וכן נהגו בכל תפוצות ישראל, וכפי שנהג גם רבינו האר"י ז"ל, כמבואר בשער הכוונות (דף צ' ע"א).

[יג] [הגה] והולכין אל הנהר. לזכור את העקידה כמ"ש במדרש [תנחומא וירא אות כב] והביאו ילקוט [שמעוני שם] ס"ס צ"ט וכי מאחר שאין דרך מרובה למה נתעכב ג' ימים אלא כיון שלא שמעו לשטן הלך ונעשה לפניהם כנהר גדול כו' ובא אברהם במים וז"ש [מיכה ז, כ] אשר נשבעתי כו':

לא היה הולך לנהר או לבאר לומר תשליך:

R' Chaim Volozhiner didn't do תשליך, and neither did the חזון אי"ש, until he moved to בני ברק.

הנהר וכו'. ולומר תשוב תרחמנו וגו'. משום דאיתא במדרש שעבר אברהם אבינו עד צוארו במים כשהלך להקריבו ע"ג המזבח ואמר הושיעה כי באו מים עד נפש ואנו עושין זה זכר לעקידה. וטוב [לילך] למקום שיש בו דגים חיים לסימן שלא תשלוט בנו עין הרע ונפרה ונרבה כדגים. ובכתבים כתב נהר או באר וטוב שיהיה מחוץ לעיר. ויש לילך ביום א' אחר מנחה קודם שקיעת החמה ולומר פסוק מי אל כמוך וגו' עכ"ל. ובקצת מקומות ראיתי כשחל יום א' בשבת הולכין בשני לנהר. ואפשר מפני שהנהר חוץ לעיר ומשום הוצאה שנושאין ספרים וכדומה לכך הולכין ביום ב' [פמ"ג]:

ומנהג של ישראל תורה הוא, במה שהולכים על מים ואמרים תשליך במצולת ים הוא התהום, והיא המקום היותר עמוק בים. והנה לפי הטבע של היסודות שהמים יכסו הארץ, והארץ הוא המרכז, והוא מקום הנמוך בכל העולם, והנה התגלות הארץ לצורך בני אדם ולדרים עליה אינו בלא כוונת מכוון והוא אשר חדש העולם כרצונו לתכלית ישוב הארץ, ולכן אנו הולכים על המים לראות אשר שם חול גבול לים, ואמר עד פה תבא ולא תוסף, וכשאנו הולכים שם אנו רואים גבורתו של יוצר בראשית, ולכן אנו הולכים על המים בראש השנה, שהוא יום הדין, לשום כל אחד על נפשו ענין בריאת העולם, ושהשם יתעלה מלך הארץ ועל זה נאמר תשליך במצולת ים חטאינו, כי באמת המתבונן בענין מצולת ים ומכיר שהעולם מחודש על ידי זה עומד על מציאות השם יתעלה, ומתחרט על ידי זה על כל עונותיו, וחטאיו נמחלים ועל דרך זה נשלכים החטאים במצולת הים, והוא מבואר למשכיל.

האי פרפיסא. עציץ נקוב שזרעו בו ובתשובת הגאונים מצאתי שעושין חותלות מכפות תמרים וממלאין אותם עפר וזבל בהמה וכ"ב או ט"ו יום לפני ר"ה עושין כל אחד ואחד לשם כל קטן וקטנה שבבית וזורעים לתוכן פול המצרי או קיטנית וקורין לו פורפיסא וצומח ובערב ר"ה נוטל כל אחד שלו ומחזירו סביבות ראשו שבעה פעמים ואומר זה תחת זה וזה חליפתי וזה תמורתי ומשליכו לנהר:

מועדים לשמחה

This רש"י may be related to the מנהג to do תשליך.

פרי מגדים על אורח חיים, אשל אברהם תקפ"ג:ה'
הנהר. עיין מ"א. לעורר עינא פקיחא, ועוד טעמים. ועיין בשל"ה [מסכת ראש השנה עמוד הדין פרק נר מצוה ד"ה וכן מה, ובהגה"ה שם]. ועיין סימן תצ"ז סעיף ב' (טעות סופר תצ"ב) במ"א אות ב', אסור ליתן לדגים מזונות. ועיין אליהו זוטא [סימן] תקצ"ו [ס"ק ב'] בשם מהרי"ל [הלכות ראש השנה עמוד רעח] שלא יתן פת לדגים, יע"ש. ובקצת מקומות ראיתי כשחל יום ראשון בשבת הולכין בשני לנהר, אפשר מטעם הוצאה שנושאין עמהם, ועיין סימן תקי"ח [סעיף א] הוצאה שלא לצורך כלל ביום טוב ג"כ אסור:

תנו רבנן פעם אחת גזרה מלכות הרשעה שלא יעסקו ישראל בתורה בא פפוס בן יהודה ומצאו לרבי עקיבא שהיה מקהיל קהלות ברבים ועוסק בתורה אמר לו עקיבא אי אתה מתירא מפני מלכות אמר לו אמשול לך משל למה הדבר דומה לשועל שהיה מהלך על גב הנהר וראה דגים שהיו מתקבצים ממקום למקום אמר להם מפני מה אתם בורחים אמרו לו מפני רשתות שמביאין עלינו בני אדם אמר להם רצונכם שתעלו ליבשה ונדור אני ואתם כשם שדרו אבותי עם אבותיכם אמרו לו אתה הוא שאומרים עליך פקח שבחיות לא פקח אתה אלא טפש אתה ומה במקום חיותנו אנו מתיראין במקום מיתתנו על אחת כמה וכמה אף אנחנו עכשיו שאנו יושבים ועוסקים בתורה שכתוב בה כי הוא חייך וארך ימיך כך אם אנו הולכים ומבטלים ממנה על אחת כמה וכמה.

The Gemara relates at length how Rabbi Akiva fulfilled these directives. The Sages taught: One time, after the bar Kokheva rebellion, the evil empire of Rome decreed that Israel may not engage in the study and practice of Torah. Pappos ben Yehuda came and found Rabbi Akiva, who was convening assemblies in public and engaging in Torah study. Pappos said to him: Akiva, are you not afraid of the empire? Rabbi Akiva answered him: I will relate a parable. To what can this be compared? It is like a fox walking along a riverbank when he sees fish gathering and fleeing from place to place.
The fox said to them: From what are you fleeing?
They said to him: We are fleeing from the nets that people cast upon us.
He said to them: Do you wish to come up onto dry land, and we will reside together just as my ancestors resided with your ancestors?
The fish said to him: You are the one of whom they say, he is the cleverest of animals? You are not clever; you are a fool. If we are afraid in the water, our natural habitat which gives us life, then in a habitat that causes our death, all the more so.
The moral is: So too, we Jews, now that we sit and engage in Torah study, about which it is written: “For that is your life, and the length of your days” (Deuteronomy 30:20), we fear the empire to this extent; if we proceed to sit idle from its study, as its abandonment is the habitat that causes our death, all the more so will we fear the empire.

קצה המטה

We do תשליך by water that has fish to remind ourselves how badly we need תורה.

שו"ת תורה לשמה ל"א
[טעם למה שנוהגים לפתוח את הידים באמירת פסוק פותח את ידיך, וכן טעם לנער הבגד בעת תשליך.]

שאלה. ילמדנו רבינו בענין פסוק פותח את ידיך שאומרים אותו כל יום בשחרית ומנחה שמנהג העולם לפתוח שתי ידיהם בו ויש מלעיגין בזה המנהג באומרם פתיחת יד האדם מאן דכר שמא בפסוק זה הלא אנחנו מבקשים על פתיחת יד העליונה. על כן יורנו אם יש ממש בהרהורי דברים אלו ואיך נעשה.
גם עוד ילמדנו רבינו בענין התשליך ביום ר"ה שנוהגין לנער כנפי הגלימה בעת אומרם ותשליך במצולות ים כל חטאתם אם יש הרהורי דברים בזה המנהג דגלימא דידהו מאן דכר שמא הכא הלא הכונה היא על השלכת המשחיתים והמקטרגים שנבראו מן העונות שיהיו נשלכים במצולות ים העליון וכאשר נמצא כתוב ביאור הדברים בשם מרן האר"י ז"ל וא"כ למאי נ"מ במנהג הזה שינער האדם גלימא דידיה ואם המנהג הזה של הניעור נמצא מפורש בדברי מרן האר"י ז"ל או לאו. גם ילמדנו על מנהג העולם שמנערין ג"כ כנפי הגלימא אחרי ברכת הלבנה אם יש בזה הרהורי דברים. יורנו ושכמ"ה.
תשובה. אין להרהר אחר מנהגן של ישראל בכל דברים הנזכרים בשאלה יען כי כל פועל דמיוני הנעשה למטה הוא כדי לחזק הדבר למעלה והיינו תמצא כי הנביאים נשתמשו בפועל דמיוני כאשר מצינו באלישע הע"ה עם יואש מלך ישראל שא"ל פתח החלון קדמה ויפתח ויאמר אלישע ירה ויור ויאמר קח את החיצים ויקח ויאמר הך ארצה ויך שלש פעמים ויעמוד ויקצוף עליו איש האלהים ויאמר להכות חמש או שש פעמים אז הכית את ארם עד כלה ועתה שלש פעמים תכה את ארם וכנז' במלכים ב' י"ג. וכן תמצא פועל דמיוני בירמיה ג"כ שצוה ירמיה הע"ה את שריה והיה ככלותך לקרוא את הספר הזה תקשור עליו אבן והשלכתו אל תוך פרת ואמרת ככה תשקע בבל ולא תקום וכו' ע"ש וכבר דיבר בזה הרמב"ן ז"ל בביאורו על התורה ע"ש.
וכן תמצא פועל דמיוני כזה של ניעור הגלימא בנחמיה ה' דכתיב גם חצני נערתי ואמרה ככה ינער האלהים את כל האיש אשר לא יקים את הדבר הזה מביתו ומיגיעו וככה יהיה נעור ורק ויאמרו כל הקהל אמן וכו' ע"ש.
על כן מה שנוהגין לפתוח ידיהם בפסוק פותח את ידיך מנהג טוב כי הגם שאנחנו מבקשים על פתיחת יד העליונה עכ"ז לחזק הדבר אנו עושים פועל דמיוני בפתיחת ידינו. גם יש עוד טעם אחר בזה כי בפסוק הזה יש המשכת שפע ואנחנו פותחים ידינו לעשות הכנה בזה לשרשינו ומזלינו למעלה לקבל השפע וכמו שמצינו אצל שלמה הע"ה בתפלתו דכתיב וכפיו פרושות השמים ופירשו הראשונים ז"ל לעשות הכנה לקבלת השפע. וכן בענין סדר התשליך שנהגו לנער שולי הגלימה והגם שדבר זה של ניעור הגלימה לא נמצא בספר הכונות כ"י המצוי אצלינו מרבינו האר"י ז"ל עכ"ז מנהג ישראל תורה הוא ויש בזה טעם כדי לעשות פועל דמיוני על דרך מה שעשה נחמיה ע"ה בניעור הנז' וכונתינו הוא על העונות והחטאים שיתנערו מן הנפש ויושלכו הם וגם המקטרג העליון למצולות ים העליון ובאמת גם ענין זה שעושין סדר התשליך על הים או על באר מים הוא ג"כ פועל דמיוני לים העליון וכאשר מפורש בדברי מרן האר"י זצ"ל וממילא מובן שגם ניעור הגלימה שנהגו לנער אחר ברכת הלבנה הוא מנהג נכון ע"ד הנז"ל. והיה זה שלום ואל שדי ה' צבאות יעזור לי. כ"ד הקטן יחזקאל כחלי נר"ו.

קובץ הלכות פסקי רבי שמואל קמנצקי על ימים נוראים כ':י"א

נוהגים לנער שולי הבגדים אחר תשליך, והוא לרמז ליתן לב להשליך החטאים ולחפש ולחקור דרכים מן היום ההוא והלאה שיהיו בגדיו לבנים ונקיים הכל חטאטו. ומה שיש זורקין פירורי פת לדגים הוא מנהג שאין לו יסוד, ובראש השנה איכא איסורא למיעבד הכיטז.


שערי הלכות

טו. ...וזה לשון שו"ת תורה לשמה (סי' לא) "

קובץ הלכות

Quotes this teshuvah of the תורה לשמה.

(ס"ק ה) הנהר כו' עיין סימן תצ"ז סעיף ב'. בא למעט מנהג גרוע שכתב מהרי"ל [הלכות ראש השנה עמוד רעח] הובא (בא"ר) [באליה זוטא] [סימן תקצו ס"ק ב] שמשליכים לנהר פת לחם לדגים. דמבואר בסי' תצ"ז דאסור ליתן לפניהם מזונות, כיון דאין מזונותיהם עליך:

יש נוהגים שלא לישן ביום א' דר"ה ביום ע"פ הירושלמי והאריז"ל אמר דאחר חצות ואחרי התקיעות יכולים לישן ויושב ובטל כישן דמי ויש נוהגים לילך ביום א' דר"ה אל הנהר ולאמר פסוקים ותשליך במצולות ים כל חטאתינו וקורין לזה תשליך ויזהירו שלא ילכו נשים ובמקומות שהולכות מוטב שאנשים לא ילכו כלל דבלא"ה יש מתרעמים על זה בזמן הזה ורבים נמנעים מזה מפני טעם הידוע להם ונכון הוא:

קובץ הלכות

Whether there would be any point in women going to do תשליך might depend on what the reason is for the מנהג. If it's because אברהם went into the water when going to do the עקידה then there would be no point, since אברהם was a man. If it's like the fish looking over us with open eyes then it would apply to women, too.

קובץ הלכות

Just because it's best to go to do תשליך after מנחה doesn't mean that there is no point at doing it during later than that.

מטה אפרים תקצ"ח

אחר שגמר ברהמ"ז אעפ"י שלפעמים עוד היום גדול ויש שהות לישן מעט עד תפלת המנחה אין לעשות כן ויחוש למה שאמרו הישן בר"ה נס מזלו ישן ואף שדבריהם נאמרו ברמיזה שמי שישן ואין מוסיף אומץ בתפל' גם מזלו שהוא המלאך המליץ עליו בשמים הוא אינו מלמד זכות עליו והחי יתן על לבו כי עת לעשות ה' לא ינום ולא יישן וכ"ש להיות יושב ובטל שהוא כישן וגרוע ממנו שעי"ז ראשו נמלא מחשבות רבות ולכן יהי' נזהר תיכף לברהמ"ז לאכול מעט פירות ולברך עליהם להשלי' ממה שחסר ממאה ברכות ואח"כ יפנה נופו ויפנה מחשבותי ממחשבת חוץ ולילך בזריזות אל המקום שקבע בתפלתו ואם עדיין לא נקבצו הצבור ואין עומדין להתפלל מנחה עדיין ילמוד במקום שרגיל כגון משניות או ה' ר"ה להשלים תהלים ב' פעמים במנין כפ"ר וטוב מעט בכוונה: