Aruch HaShulchan OH 18:7
The gemara in Rosh Hashana describes that God donned a tallit like a Shaliach Tzibbur at the moment He revealed to Moshe the thirteen attributes; and from here we learn that every shaliach tzibbur who leads davenen dons the tallit.
שלש עשרה מדות. אומר רבינו תם דשני שמות הראשונים הם שני מדות. כדאמרינן הכא אני ה' קודם שיחטא לרחם עליו ואני מרחם לאחר שיחטא אם ישוב ה' מדת רחמים הוא ולא כאלהים שהוא מדת הדין...
Rabbeinu Tam says: the two names of God represent two different characteristics. First it says, "I am Hashem" - this is before a person sins - I will be merciful to him. Subsequently, I will also be merciful after he sins - if he does teshuva. This represents the characteristic of mercy, as opposed to the name "Elohim", which represents the characteristic of judgment...
מהרש”א חידושי אגדות ראש השנה יז:ב
אלמלא מקרא כתוב א”א לאומרו כו’ ולא נאמר מקרא אלא כדי לשבר את האוזן שכן היה נראה למשה בנבואה כאלו הקדוש ברוך הוא מתעטף כש”ץ והיינו ויעבור וגו’ כש”ץ המעביר טליתו על פניו וקורא כסדר הזה עשה הקדוש ברוך הוא להורות שכן יעשו כל זמן כו’ ובספר ישן מחכמת המקובלים מצאתי וז”ל נתעטף הקדוש ברוך הוא באותו טלית לבנה שנתעטף בברייתו של עולם שעליו נאמר עוטה אור כשלמה שמבהיק מסוף עולם ועד סופו
Maharsha, Chidushei Agadot, 17b
If Scripture had not said it, it would not have been possible to say it. And it was not said in Scripture except in order to make it intelligible, for it appeared to Moses in a prophecy as if the Holy One Blessed be He wrapped Himself like a prayer leader covers his face with his tallit and reads this order of prayer; so did the Holy One Blessed be He to teach that thus they should do each time. And in an old book from the wisdom of the Kabbalists I found, and this is their words: the Holy One Blessed be He covered Himself in that very white tallit that He covered Himself in the creation of the world,upon which it says (Ps. 104:2): "[You] enwrap Yourself with light like a garment; [You] extend the heavens like a curtain."