Shlosha Regalim?? Shmini Atzeret- What's the deal?

(יב) וּבַחֲמִשָּׁה֩ עָשָׂ֨ר י֜וֹם לַחֹ֣דֶשׁ הַשְּׁבִיעִ֗י מִֽקְרָא־קֹ֙דֶשׁ֙ יִהְיֶ֣ה לָכֶ֔ם כׇּל־מְלֶ֥אכֶת עֲבֹדָ֖ה לֹ֣א תַעֲשׂ֑וּ וְחַגֹּתֶ֥ם חַ֛ג לַה` שִׁבְעַ֥ת יָמִֽים׃ (יג) וְהִקְרַבְתֶּ֨ם עֹלָ֜ה אִשֵּׁ֨ה רֵ֤יחַ נִיחֹ֙חַ֙ לַה`פָּרִ֧ים בְּנֵי־בָקָ֛ר שְׁלֹשָׁ֥ה עָשָׂ֖ר אֵילִ֣ם שְׁנָ֑יִם כְּבָשִׂ֧ים בְּנֵֽי־שָׁנָ֛ה אַרְבָּעָ֥ה עָשָׂ֖ר תְּמִימִ֥ם יִהְיֽוּ׃ (יז) וּבַיּ֣וֹם הַשֵּׁנִ֗י פָּרִ֧ים בְּנֵי־בָקָ֛ר שְׁנֵ֥ים עָשָׂ֖ר אֵילִ֣ם שְׁנָ֑יִם כְּבָשִׂ֧ים בְּנֵי־שָׁנָ֛ה אַרְבָּעָ֥ה עָשָׂ֖ר תְּמִימִֽם׃

(כ) וּבַיּ֧וֹם הַשְּׁלִישִׁ֛י פָּרִ֥ים עַשְׁתֵּי־עָשָׂ֖ר אֵילִ֣ם שְׁנָ֑יִם כְּבָשִׂ֧ים בְּנֵי־שָׁנָ֛ה אַרְבָּעָ֥ה עָשָׂ֖ר תְּמִימִֽם׃ (כג) וּבַיּ֧וֹם הָרְבִיעִ֛י פָּרִ֥ים עֲשָׂרָ֖ה אֵילִ֣ם שְׁנָ֑יִם כְּבָשִׂ֧ים בְּנֵֽי־שָׁנָ֛ה אַרְבָּעָ֥ה עָשָׂ֖ר תְּמִימִֽם׃ (כו) וּבַיּ֧וֹם הַחֲמִישִׁ֛י פָּרִ֥ים תִּשְׁעָ֖ה אֵילִ֣ם שְׁנָ֑יִם כְּבָשִׂ֧ים בְּנֵֽי־שָׁנָ֛ה אַרְבָּעָ֥ה עָשָׂ֖ר תְּמִימִֽם׃ (כט) וּבַיּ֧וֹם הַשִּׁשִּׁ֛י פָּרִ֥ים שְׁמֹנָ֖ה אֵילִ֣ם שְׁנָ֑יִם כְּבָשִׂ֧ים בְּנֵי־שָׁנָ֛ה אַרְבָּעָ֥ה עָשָׂ֖ר תְּמִימִֽם׃ (לב) וּבַיּ֧וֹם הַשְּׁבִיעִ֛י פָּרִ֥ים שִׁבְעָ֖ה אֵילִ֣ם שְׁנָ֑יִם כְּבָשִׂ֧ים בְּנֵי־שָׁנָ֛ה אַרְבָּעָ֥ה עָשָׂ֖ר תְּמִימִֽם׃

(לה) בַּיּוֹם֙ הַשְּׁמִינִ֔י עֲצֶ֖רֶת תִּהְיֶ֣ה לָכֶ֑ם כׇּל־מְלֶ֥אכֶת עֲבֹדָ֖ה לֹ֥א תַעֲשֽׂוּ׃ (לו) וְהִקְרַבְתֶּ֨ם עֹלָ֜ה אִשֵּׁ֨ה רֵ֤יחַ נִיחֹ֙חַ֙ לַה` פַּ֥ר אֶחָ֖ד אַ֣יִל אֶחָ֑ד כְּבָשִׂ֧ים בְּנֵי־שָׁנָ֛ה שִׁבְעָ֖ה תְּמִימִֽם׃ (לז) מִנְחָתָ֣ם וְנִסְכֵּיהֶ֗ם לַפָּ֨ר לָאַ֧יִל וְלַכְּבָשִׂ֛ים בְּמִסְפָּרָ֖ם כַּמִּשְׁפָּֽט׃ (לח) וּשְׂעִ֥יר חַטָּ֖את אֶחָ֑ד מִלְּבַד֙ עֹלַ֣ת הַתָּמִ֔יד וּמִנְחָתָ֖הּ וְנִסְכָּֽהּ׃

Numbers 29

(12) On the fifteenth day of the seventh month, you shall observe a sacred occasion: you shall not work at your occupations.—Seven days you shall observe a festival of ה` (13) You shall present a burnt offering, an offering by fire of pleasing odor to ה`: Thirteen bulls of the herd, two rams, fourteen yearling lambs; they shall be without blemish. . .

(17) Second day: Twelve bulls of the herd, two rams, fourteen yearling lambs, without blemish . . .

(20) Third day: Eleven bulls, two rams, fourteen yearling lambs, without blemish . . .

(23) Fourth day: Ten bulls, two rams, fourteen yearling lambs, without blemish . . .

(26) Fifth day: Nine bulls, two rams, fourteen yearling lambs, without blemish . . .

(29) Sixth day: Eight bulls, two rams, fourteen yearling lambs, without blemish. . .

(32) Seventh day: Seven bulls, two rams, fourteen yearling lambs, without blemish . . .

(35) On the eighth day you shall hold a solemn gathering you shall not work at your occupations.

(36) You shall present a burnt offering, an offering by fire of pleasing odor to `ה; one bull, one ram, seven yearling lambs, without blemish; (37) the meal offerings and libations for the bull, the ram, and the lambs, in the quantities prescribed; (38) and one goat for a sin offering—in addition to the regular burnt offering, its meal offering and libation.

What clues from the psukim above make you think that Shmini Atzeret and Sukkot are all one holiday?
What clues from the psukim above make you think that Shmini Atzeret and Sukkot are different holidays?
Hint: Look at the pattern of sacrifices and the language of the verses.

דעת זקנים על במדבר כ״ט:ל״ו

(א) בשמיני חג עצרת פר אחד איל אחד להראות שאין הקב"ה צריך לצורך עצמו כי אם להראות כבודן של ישראל. ומן הראוי היה להיות חג העצרת חמשי' יום אחר סוכות כמו ששבועות חמשים יום אחר הפסח אלא שאחר הפסח באין ימי הקיץ ואין טורח לעלות לרגל אבל אחר סוכות באין ימי הגשמים והיה טורח לעלות לפיכך קבעו ית' מיד אחר סוכות

משל למלך שנושא שתי נשים אחת ממקום קרוב ואחת ממקום רחוק לאותה שהיא ממקום קרוב אומר לה עכשיו נעשה השידוכין ולאחר שלשה חדשים אחזור הנה ונעשה הנשואין כי קרוב אלי המקום ולאותה שהיא ממקום רחוק אומר לה נעשה עכשיו השידוכין והנשואים ביחד כי רחוק המקום ולא אוכל לטרוח לשוב פה פעם אחרת.

Da'at Zekenim on Numbers 29:36

“On the festival of Shmini Atzeret, one bull and one ram.” This shows that God doesn’t have needs for Himself, but rather is showing honor to Israel. It would make sense for the celebration to be 50 days after Sukkot like Shavuot is 50 days after Pesach. However, after Pesach come summer days and it isn't a burden to come up on foot. But after Sukkot come the rainy days and it would be a burden to come up. Therefore, the Blessed one set it immediately after Sukkot.

Parable: A king was marrying two women, one from nearby and one from far away. For the one who was closeby he said to her "Let's do the engagement now, and after 3 months I will return here and we will get married because it is closeby." And to the one who was far away he said "Let's do the engagement and the marriage right now together, because this place is far away and I will not be able to endure the burden of returning here another time.

Do you buy Daat Zekenim's argument that there is meant to be a 50 day gap between Sukkot and Shmini Atzeret? Why or why not?
How would it change our experience of Shmini Atzeret if it was 50 days after Sukkot?
Consider the mashal (parable). In what way are Pesach & Sukkot like engagements (to God?) and Shavuot & Shmini Atzeret marriages?

סוכה נ״ה ב:ט׳

אָמַר רַבִּי (אֶלְעָזָר): הָנֵי שִׁבְעִים פָּרִים כְּנֶגֶד מִי — כְּנֶגֶד שִׁבְעִים אוּמּוֹת. פַּר יְחִידִי לָמָּה — כְּנֶגֶד אוּמָּה יְחִידָה.

Sukkah 55b:9

Rabbi Elazar said: These seventy bulls that are sacrificed as additional offerings over the course of the seven days of Sukkot, to what do they correspond? They correspond to the seventy nations of the world, and are brought to atone for their sins and to hasten world peace. Why is a single bull sacrificed on the Eighth Day of Assembly? It corresponds to the singular nation, Israel.

סוכה נ״ה ב:י׳

מָשָׁל לְמֶלֶךְ בָּשָׂר וָדָם שֶׁאָמַר לַעֲבָדָיו: עֲשׂוּ לִי סְעוּדָה גְּדוֹלָה. לְיוֹם אַחֲרוֹן אָמַר לְאוֹהֲבוֹ: עֲשֵׂה לִי סְעוּדָה קְטַנָּה כְּדֵי שֶׁאֵהָנֶה מִמְּךָ.

Sukkah 55b:10

The Gemara cites a parable about a king of flesh and blood who said to his servants: Prepare me a great feast that will last for several days. When the feast concluded, on the last day, he said to his beloved servant: Prepare me a small feast so that I can derive pleasure from you alone.

After learning these sources, how would you characterize Shmini Atzeret?
Do you think that Shmini Atzeret is a part of Sukkot or its own holiday?