אָמַר רַב יְהוּדָה: לְעוֹלָם אַל יִשְׁאַל אָדָם צְרָכָיו לֹא בְּשָׁלֹשׁ רִאשׁוֹנוֹת, וְלֹא בְּשָׁלֹשׁ אַחֲרוֹנוֹת, אֶלָּא בְּאֶמְצָעִיּוֹת. דְּאָמַר רַבִּי חֲנִינָא: רִאשׁוֹנוֹת — דּוֹמֶה לְעֶבֶד שֶׁמְּסַדֵּר שֶׁבַח לִפְנֵי רַבּוֹ. אֶמְצָעִיּוֹת — דּוֹמֶה לְעֶבֶד שֶׁמְבַקֵּשׁ פְּרָס מֵרַבּוֹ. אַחֲרוֹנוֹת — דּוֹמֶה לְעֶבֶד שֶׁקִּבֵּל פְּרָס מֵרַבּוֹ, וְנִפְטָר וְהוֹלֵךְ לוֹ.
אָמַר רַבִּי כְּרוּסְפָּדַאי אָמַר רַבִּי יוֹחָנָן: שְׁלֹשָׁה סְפָרִים נִפְתָּחִין בְּרֹאשׁ הַשָּׁנָה, אֶחָד שֶׁל רְשָׁעִים גְּמוּרִין, וְאֶחָד שֶׁל צַדִּיקִים גְּמוּרִין, וְאֶחָד שֶׁל בֵּינוֹנִיִּים. צַדִּיקִים גְּמוּרִין — נִכְתָּבִין וְנֶחְתָּמִין לְאַלְתַּר לְחַיִּים, רְשָׁעִים גְּמוּרִין — נִכְתָּבִין וְנֶחְתָּמִין לְאַלְתַּר לְמִיתָה, בֵּינוֹנִיִּים — תְּלוּיִין וְעוֹמְדִין מֵרֹאשׁ הַשָּׁנָה וְעַד יוֹם הַכִּפּוּרִים, זָכוּ — נִכְתָּבִין לְחַיִּים, לֹא זָכוּ — נִכְתָּבִין לְמִיתָה.
אָמַר רַבִּי אָבִין, מַאי קְרָא: ״יִמָּחוּ מִסֵּפֶר חַיִּים וְעִם צַדִּיקִים אַל יִכָּתֵבוּ״. ״יִמָּחוּ מִסֵּפֶר״ — זֶה סִפְרָן שֶׁל רְשָׁעִים גְּמוּרִין, ״חַיִּים״ — זֶה סִפְרָן שֶׁל צַדִּיקִים, ״וְעִם צַדִּיקִים אַל יִכָּתֵבוּ״ — זֶה סִפְרָן שֶׁל בֵּינוֹנִיִּים. רַב נַחְמָן בַּר יִצְחָק אָמַר, מֵהָכָא: ״וְאִם אַיִן מְחֵנִי נָא מִסִּפְרְךָ אֲשֶׁר כָּתָבְתָּ״, ״מְחֵנִי נָא״ — זֶה סִפְרָן שֶׁל רְשָׁעִים, ״מִסִּפְרְךָ״ — זֶה סִפְרָן שֶׁל צַדִּיקִים, ״אֲשֶׁר כָּתָבְתָּ״ — זֶה סִפְרָן שֶׁל בֵּינוֹנִיִּים. תַּנְיָא, בֵּית שַׁמַּאי אוֹמְרִים: שָׁלֹשׁ כִּתּוֹת הֵן לְיוֹם הַדִּין: אַחַת שֶׁל צַדִּיקִים גְּמוּרִין, וְאַחַת שֶׁל רְשָׁעִים גְּמוּרִין, וְאַחַת שֶׁל בֵּינוֹנִיִּים. צַדִּיקִים גְּמוּרִין — נִכְתָּבִין וְנֶחְתָּמִין לְאַלְתַּר לְחַיֵּי עוֹלָם, רְשָׁעִים גְּמוּרִין — נִכְתָּבִין וְנֶחְתָּמִין לְאַלְתַּר לְגֵיהִנָּם, שֶׁנֶּאֱמַר: ״וְרַבִּים מִיְּשֵׁנֵי אַדְמַת עָפָר יָקִיצוּ אֵלֶּה לְחַיֵּי עוֹלָם וְאֵלֶּה לַחֲרָפוֹת לְדִרְאוֹן עוֹלָם״, בֵּינוֹנִיִּים — יוֹרְדִין לְגֵיהִנָּם, וּמְצַפְצְפִין וְעוֹלִין...
§ The Gemara goes back to discuss the Day of Judgment. Rabbi Kruspedai said that Rabbi Yoḥanan said: Three books are opened on Rosh HaShana before the Holy One, Blessed be He: One of wholly wicked people, and one of wholly righteous people, and one of middling people whose good and bad deeds are equally balanced. Wholly righteous people are immediately written and sealed for life; wholly wicked people are immediately written and sealed for death; and middling people are left with their judgment suspended from Rosh HaShana until Yom Kippur, their fate remaining undecided. If they merit, through the good deeds and mitzvot that they perform during this period, they are written for life; if they do not so merit, they are written for death.
Rabbi Avin said: What is the verse that alludes to this? “Let them be blotted out of the book of the living, but not be written with the righteous” (Psalms 69:29). “Let them be blotted out of the book”; this is the book of wholly wicked people, who are blotted out from the world. “Of the living”; this is the book of wholly righteous people. “But not be written with the righteous”; this is the book of middling people, who are written in a separate book, not with the righteous. Rav Naḥman bar Yitzḥak said: This matter is derived from here: “And if not, blot me, I pray You, out of Your book which you have written” (Exodus 32:32). “Blot me, I pray You”; this is the book of wholly wicked people, who are blotted out from the world. “Out of Your book”; this is the book of wholly righteous people, which is special and attributed to God Himself. “Which You have written”; this is the book of middling people. It is taught in a baraita: Beit Shammai say: There will be three groups of people on the great Day of Judgment at the end of days: One of wholly righteous people, one of wholly wicked people, and one of middling people. Wholly righteous people will immediately be written and sealed for eternal life. Wholly wicked people will immediately be written and sealed for Gehenna, as it is stated: “And many of those who sleep in the dust of the earth shall wake, some to eternal life and some to shame and everlasting contempt” (Daniel 12:2). Middling people will descend to Gehenna to be cleansed and to achieve atonement for their sins, and they will cry out in their pain and eventually ascend from there...
אל ישאל אדם צרכיו לא בג' ראשונות ולא בג' אחרונות - פי' ר"ח ורבינו האי דוקא ליחיד אבל צרכי צבור שואלין ולכך אנו אומרים זכרנו וקרובץ ויעלה ויבא בהם ותדע דדוקא יחיד קאמר שהרי עיקר ברכות אחרונות צרכי צבור הם:
ONE MUST NOT REQUEST HIS OWN NEEDS IN THE FIRST THREE OR IN THE LAST THREE [BLESSINGS]. Rabainu Chananel (a student of Hai Ga'on, one of the last Ge'onim) and Rav Hai explained that this ruling that one should not ask for his needs during the first and last three b’rochos, was said only for an individual, but for the needs of the public, we may ask even during the first and last three b’rochos. And that is why we say זכרנו, קרובץ and יעלה ויבא during these b’rochos. And I will prove that this was specifically said for an individual that the main point of the last b’rochos is the needs of the public. Therefore, one may certainly ask Hashem for the needs of the public while reciting these b’rochos. Just as the ruling against asking for one’s needs does not apply to the public in the last three b’rochos, so too, it does not apply to public needs in the first three b’rochos.
(Compiled ca.8th c.)
As the concluding words [of the benedictions] of the New Year and the Day of Atonement are different from those of other Festivals, so are the prayers of these days; and we do not include ‘remembrance’ either in the first three or last three [benedictions of the ‘Amidah] except only on the two Festival days of the New Year and Day of Atonement and, even with these, permission was given with difficulty. If the New Year falls on a Sabbath, one does not say ‘A day of blowing the Shofar’ but ‘a day of remembrance of blowing the Shofar’, because the blowing of the Shofar does not take precedence of the Sabbath in country towns, this being a preventive measure.
(א) שכו.
ובתשובות הגאונים כך הושב. ולשאול אדם צרכיו בשלש ראשונות ובשלש אחרונות ולומר זכרינו לחיים במגן. ממנהג אתם עושי'. מה הויא מנהג ישיבה שאנן שואלין במגן. זכרינו. ובמודים. וכתוב לחיים. ובשים שלום. בספר חיים. מראש השנה ועד יום הכיפורים...
11th c. (though that's problematic)
The Ge'onim, in their responsa, said:
... the custom is that we make the request of "zochreinu" in Birkat Avot ("Magen"), and "Uch'tov l'chayim" in [Birkat] Modim, and "B'sefer Chayim" in [Birkat] Shalom. From Rosh Hashana up to Yom Hakkipurim... (transl. SL)
והמון העם אומרים אל חי ומגן ואינם אומרים מלך עוזר ומושיע והם טועים שאין לשנות מטבע התפלה שתקנו חכמים [...] ועוד כי בסדר רב עמרם ורבינו סעדיה ישנו יש מהגאונים שאמרו שאין לומר זכרנו לחיים וכתוב לחיים ובספר חיים משום דקיימ' לן לא ישאל אדם צרכיו לא בשלש ראשונות ולא בשלש אחרונות ורבינו האיי ור"ח ור"ת כתבו שיש לומר אותם דהא "דלא ישאל אדם צרכיו בשלש ראשונות דוקא צרכי יחיד אבל צרכי רבים שואל" שהרי רצה ושים שלום הם צרכי צבור ועוד שאנו אומרים יעלה ויבא ועל הנסים בשלש אחרונות.
Abudarham, RH Prayers, 12 (14th c)
Many people say (the addition) and don't say melech ozer u'moshia; they are wrong - one doesn't change the statutory prayers that were established by the sages... Furthermore, in the siddurim of Rav Amram [Gaon] and our Rabbi Sa'adiyah [Ga'on] ...there are among the ge'onim those who said that one should not say "zochrienu l'chayim," "uch'tov l'chayim," and "b'sefer chayim" because it is a principle that one should not ask for their needs, not in the first three [b'rachot] and not in the last three [b'rachot]. Rabbeinu Hai [Ga'on] and Rabbeinu Chananel and Rabbi ____ wrote that it is permitted to say them, for the prohibition is against asking for personal needs (in the first three [b'rachot]), but the needs of the community one may ask for; after all, R'tzeh and Sim Shalom are requests for the needs of the community, and furthermore, we say Ya'aleh V'yavo and Al Hanissim in the final three [b'rachot].
(-transl. SL)
והלכתא כותיה דרבה - דצריך לחתום המלך הקדוש והמלך המשפט ואם לא אמר מחזירין אותו. וכן זכרנו ומי כמוך וכתוב לחיים ובספר חיים מחזירים אותו אם לא אמר. דכל המשנה ממטבע שטבעו חכמים אינו יוצא ידי חובתו
12th-14th c.
The halacha is like Rabbah