Why 100 Shofar Blasts?

(כד) דַּבֵּר אֶל בְּנֵי יִשְׂרָאֵל לֵאמֹר בַּחֹדֶשׁ הַשְּׁבִיעִי בְּאֶחָד לַחֹדֶשׁ יִהְיֶה לָכֶם שַׁבָּתוֹן זִכְרוֹן תְּרוּעָה מִקְרָא קֹדֶשׁ.

Leviticus 23:24

(24) Speak unto the children of Israel, saying: In the seventh month, in the first day of the month, shall be a solemn rest unto you, a memorial proclaimed with the blast of horns, a holy convocation.

במדבר כ״ט:א׳

(א) וּבַחֹדֶשׁ הַשְּׁבִיעִי בְּאֶחָד לַחֹדֶשׁ מִקְרָא קֹדֶשׁ יִהְיֶה לָכֶם כָּל מְלֶאכֶת עֲבֹדָה לֹא תַעֲשׂוּ יוֹם תְּרוּעָה יִהְיֶה לָכֶם.

Numbers 29:1

(1) And in the seventh month, on the first day of the month, ye shall have a holy convocation: ye shall do no manner of servile work; it is a day of blowing the horn unto you.

ראש השנה ל״ג ב:ט׳-ל״ד א:כ״ג

שיעור תרועה כג' יבבות:,והתניא,שיעור תרועה כשלשה שברים,אמר אביי,בהא ודאי פליגי דכתיב (במדבר כט, א) יום תרועה יהיה לכם ומתרגמינן,יום יבבא יהא לכון,וכתיב באימיה דסיסרא (שופטים ה, כח) בעד החלון נשקפה ותיבב אם סיסרא,מר סבר,גנוחי גנח ומר סבר,ילולי יליל...

ומנין שפשוטה לפניה ת"ל והעברת שופר תרועה,ומנין שפשוטה לאחריה ת"ל תעבירו שופר,ואין לי אלא ביובל בראש השנה מנין ת"ל בחדש השביעי שאין ת"ל בחדש השביעי ומה ת"ל בחדש השביעי שיהו כל תרועות החדש השביעי זה כזה,ומנין לשלש של שלש שלש ת"ל והעברת שופר תרועה שבתון זכרון תרועה יום תרועה יהיה לכם,ומנין ליתן את האמור של זה בזה ושל זה בזה ת"ל שביעי שביעי לגזירה שוה,הא כיצד,שלש שהן תשע...

אתקין רבי אבהו בקסרי,תקיעה שלשה שברים תרועה תקיעה,מה נפשך,אי ילולי יליל לעביד תקיעה תרועה ותקיעה ואי גנוחי גנח לעביד תקיעה שלשה שברים ותקיעה,מספקא ליה אי גנוחי גנח אי ילולי יליל,מתקיף לה רב עוירא,ודלמא ילולי הוה וקא מפסיק שלשה שברים בין תרועה לתקיעה,דהדר עביד תקיעה תרועה ותקיעה,מתקיף לה רבינא,ודלמא גנוחי הוה וקא מפסקא תרועה בין שברים לתקיעה,דהדר עביד תש"ת,אלא רבי אבהו מאי אתקין,אי גנוחי גנח הא עבדיה אי ילולי יליל הא עבדיה,מספקא ליה דלמא גנח ויליל,אי הכי ליעבד נמי איפכא,תקיעה תרועה שלשה שברים ותקיעה דלמא יליל וגנח,סתמא דמילתא כי מתרע באיניש מילתא ברישא גנח והדר יליל:

Rosh Hashanah 33b:9-34a:23

משנה תורה, הלכות שופר וסוכה ולולב ג׳:י׳

(י) המנהג הפשוט בסדר התקיעות של ראש השנה בצבור כך הוא. אחר שקוראין בתורה ומחזירין הספר למקומו יושבין כל העם ואחד עומד ומברך ברוך אתה ה' אלהינו מלך העולם אשר קדשנו במצותיו וצונו לשמוע קול שופר וכל העם עונין אמן. וחוזר ומברך שהחיינו וכל העם עונין אחריו אמן. ותוקע שלשים תקיעות שאמרנו מפני הספק על הסדר. ואומרים קדיש ועומדין ומתפללין תפלת מוסף. ואחר שגומר שליח צבור ברכה רביעית שהיא מלכיות תוקע תקיעה שלשה שברים תרועה תקיעה פעם אחת. ומברך ברכה חמישית שהוא זכרונות. ואחר שגומרה תוקע תקיעה שלשה שברים ותקיעה. ומברך ברכה ששית שהיא שופרות. ואחר שגומרה תוקע תקיעה תרועה ותקיעה פעם אחת וגומר התפלה.

Mishneh Torah, Shofar, Sukkah and Lulav 3:10

...

משנה תורה, הלכות שופר וסוכה ולולב ג׳:י״ב

(יב) בדין היה שיתקעו על כל ברכה כל בבא מהן שלש פעמים כדרך שתקעו כשהן יושבין אלא כיון שיצאו מידי ספק בתקיעות שמיושב אין מטריחין על הצבור לחזור בהן כולן על סדר ברכות. אלא די להן בבא אחת על כל ברכה כדי שישמעו תקיעות על סדר ברכות. וכל הדברים האלו בצבור אבל היחיד בין ששמע על סדר ברכות בין שלא שמע על הסדר בין מעומד בין מיושב יצא ואין בזה מנהג.

Mishneh Torah, Shofar, Sukkah and Lulav 3:12

...

אורח חיים תקצ״ב:א׳

(א) מחזיר שליח צבור התפלה ותוקעין על סדר הברכות למלכיות תשר''ת פעם אחת ולזכרונות תש''ת ולשופרות תר''ת ועכשיו נוהגים לתקוע למלכיות תשר''ת שלשה פעמים לזכרונות תש''ת שלשה פעמים ולשופרות תר''ת שלשה פעמים. הגה: ויש אומרים שתוקעים תשר''ת למלכיות פעם אחת וכן לזכרונות וכן לשופרות (טור בשם רבינו תם ומנהגים) וכן המנהג במדינות אלו ונהגו לומר כל פעם אחר שתקעו היום הרת עולם וארשת (מהרי''ל) ואפילו בשבת שאין תוקעין אומרים היום הרת עולם אבל לא ארשת (מנהגים):

Shulchan Arukh, Orach Chayyim 592:1

...

משנה ברורה תקצ״ב:ד׳

(ד) (ד) וכן המנהג במדינות אלו - ובשל"ה כתב הדרך המובחר לתקוע תשר"ת תש"ת תר"ת למלכיות וכן לזכרונות וכן לשופרות [ואחר אנעים זמירות עוד תשר"ת תש"ת תר"ת כדי להשלים עד מאה קולות] ומ"מ במקום שנוהגין כמנהגנו אין לשנות [פמ"ג]:

Mishnah Berurah 592:4

...