Based on Jason Weiner's article in the Journal of Halacha and Contemporary Society
(לח) דַּבֵּ֞ר אֶל־בְּנֵ֤י יִשְׂרָאֵל֙ וְאָמַרְתָּ֣ אֲלֵהֶ֔ם וְעָשׂ֨וּ לָהֶ֥ם צִיצִ֛ת עַל־כַּנְפֵ֥י בִגְדֵיהֶ֖ם לְדֹרֹתָ֑ם וְנָֽתְנ֛וּ עַל־צִיצִ֥ת הַכָּנָ֖ף פְּתִ֥יל תְּכֵֽלֶת׃
(38) Speak to the Israelite people and instruct them to make for themselves fringes on the corners of their garments throughout the ages; let them attach a cord of blue to the fringe at each corner.
(לח) ועשו להם ציצת. עַל שֵׁם הַפְּתִילִים הַתְּלוּיִם בָּהּ, כְּמוֹ (יחזקאל ח'), "וַיִּקָּחֵנִי בְּצִיצִת רֹאשִׁי" (מנחות מ"ב). דָּ"אַ: ציצת עַל שֵׁם וּרְאִיתֶם אוׂתוֹ, כְּמוֹ "מֵצִיץ מִן הַחֲרַכִּים" (שיר השירים ב'):
(38) ועשו להם ציצת THAT THEY MAKE THEM A FRINGE — It is called צצית, because of the threads that hang down from it. Similar is, (Ezekiel 7:3) “and he caught me by the curls (ציצת) of my head’’. (The word denotes something twisted as threads or curls). — Another explanation is: it is called ציצת because of the command associated with it (v. 39) “and ye shall look at it”. Similar is, “looking (מציץ) from the lattice” (Song 2:9). (The word therefore denotes “something looked at”).
לדורותם ונתנו וגו'. הוצרך לומר לדורותם, לצד שלא באה מצוה זו אלא לזכרון המצות כשיראו אותו, תבא הסברא לומר כשיבא דור קדוש וטהור שאין צריכין לזכרון זה אין צודך בציצית תלמוד לומר לדורותם.
(לח) ציצת - כמו: בציצת ראשי. קבוצת פתילים תלויין כשער הראש.
(38) ציצית, similar to Ezekiel 8,3בציצת ראשי , a bunch of fringes suspended like the hair of one’s head.
(לח) ועשו להם ציצית. יתכן על שני פירושים האחד שיעשו ציצית כמו בציצית ראשי והם החוטים היוצאים שאינם ארוגים
(כו) (כו) יראהו – כמה דכתיב: "וראיתם אותו וזכרתם" וגו'. ואותן האנשים המשימין הציצית בהמכנסים שלהם, לא די שמעלימין עיניהם ממאי דכתיב: "וראיתם אותו וזכרתם" וגו', עוד מבזין הן את מצוַת השם יתברך, ועתידין הן ליתן את הדין על זה. ומה שאומרין שהולכים בין הנוכרים, לזה היה די שישימו הציצית בתוך הכנף. ואילו היה להם איזה דורון ממלך בשר ודם שחקוק עליו שם המלך, כמה היו מתקשטין בו לפני האנשים תמיד; וקל וחומר בציצית, שמרמז על שם מלך מלכי המלכים הקדוש ברוך הוא, וכדלקמן בסימן כ"ד סעיף ה' – כמה מתכבד האדם הנושא שמו עליו! ואמרו חז"ל: "הזהיר במצוַת ציצית, זוכה ורואה פני השכינה".
(יג) ומתוך מה שאמר רבינו או שיש לו ציצית בחלוקו נראה שדרך טלית קטן ללבשו תחת בגדיו אבל ממה שאמר בסימן כ"ד כי עיקר מצותה על זכירת המצות ובכל שעה ובכל רגע צריך שיזכור נראה שעיקר מצות טלית קטן ללבשו מלמעלה כדי שתמיד יראהו ויזכור המצות וכך כתב נמ"י בשם הריטב"א (ועיין בנמ"י דף פ"ו ע"ב):
(ח) יש אומרים שעיקר מצות טלית קטן הוא ללובשו על בגדיו, כדי שתמיד יראהו ויזכור המצות. ואין המנהג כן. וגם בשם האר"י ז"ל כתבו דאדרבא שצריך להיות תחת בגדיו (מגן אברהם סעיף קטן י"ג בשם כתבים, וכן הוא בפרי עץ חיים). ויש מי שאומר שאין לתוחבן בהכנפות, ומכל מקום אף שמדינא אין זה מעכב: למה נבוש במצות ה'? וכן אותם התוחבים הטלית קטן בהמכנסים – אין דעת חכמים נוחה מהם. אלא אם כן הולך בין השרים ויודע שילעגו עליו, דאז יכול לעשות כן.
Yitzchak Ben Marvan (12th Century) cited by Rav Ovadia "those who core their tall it under their clothing don't fulfill the Mitzvah of Tzitzit at all!
Nimukey Yosef: Hilchot Tzitzit, 12 (15th Century Spain): Tzitzit should be worn on top of the garment to fulfill "v'lo taturu achrei levavchem"
Shlah: Chulin, Hilchot Tzitzit, no 17 (16th and 17th Century Prague:) While he wore his Tallit under his begged because of mockers, he always wore his tzitzit out, as that is the proper thing to do.
Levush: Primary Acharon felt tzitzit should be worn on top of the garments in order to remember all the Mitzvot.
The Tuck Em in Camp
Gentile Ridicule
(יז) (יז) אבל בזמן הזה - ר"ל שנהגו הנשים לישב על טיפת דם שבעה נקיים דוקא ממילא אין הטבילה בזמנה ולמה תטבול דהרי מצות עונה לא יוכל לקיים בט"ב:
Rav Ovadia Yosef: (Yaskil Avdi, Orach Chaim 5:3) : General sefardi Practice is to wear the Tzitzit out.
R' Chaim Vital: (Shaar Hakavanot, p76, Pri Etz Chaim) The Ari felt that those who wear their tall it kaftan out , over their clothing act arrogantly, and are making a big mistake and in opposition to the truth.
Magen Avraham (Orach Chaim 8:11) quotes the Ari's opinion.
Lubavitcher Rebbe (Likutey Sichot, (Vol 33) Those who are won't to follow kaballah follow that, while those who follow SHulchan Aruch and Poskim follow in that path.
So why do Chassidim tuck their Tzitzit out?
Solution #1 The Lubavichter Rebbe suggested that the ari didn't intend his directives to be public. Tallit Kattan represents pnimiyut, which is why it is generally tucked in. But the masses need the tzitzit out, to remember the tzitzit all the time.
Solution #2 Many Chassidim wear their Tzitzit out, in accordance with the Shulchan Aruch, but wear a long jacket to cover the Tzitzit in accordance with the Ari.
Solution #3 Nefesh Harav: (Likutei Hanhagot) Rav Chaim Brisker wore his Tzitit out, but wrapped it around his belt.In Mussar circles, it was seen as in appropriate to mess up ones clothing by tucking Tzitzit out. (Making of a Gadol Vol 1:)
In Michtav Meeliyahu Rav Dessler writes that one should choose a Mitzvah that the Tzitzit remind you of everyday!