For a useful summary of the textual background of the Hagbah ritual, as well evolution of the ritual throughout Jewish history, see Chaim Talbi, "The Tradition of Lifting the Torah Scroll in Community" [HEB] in his book about the Torah service, V'Zot HaTorah [2017]. Most of the material and ideas in this sourcesheet are taken from Talbi's scholarship. Talbi argues that the first textual reference to the practice we know of as hagbah / g'lilah appears in Tractate Soferim, and that the practice cannot be associated with what is described in Nehemia 8. Both texts are included in this source sheet.
וְאָמַר רַבִּי שְׁפַטְיָה אָמַר רַבִּי יוֹחָנָן עֲשָׂרָה שֶׁקָּרְאוּ בַּתּוֹרָה הַגָּדוֹל שֶׁבָּהֶם גּוֹלֵל סֵפֶר תּוֹרָה הַגּוֹלְלוֹ נוֹטֵל שְׂכַר כּוּלָּן דְּאָמַר רַבִּי יְהוֹשֻׁעַ בֶּן לֵוִי עֲשָׂרָה שֶׁקָּרְאוּ בַּתּוֹרָה הַגּוֹלֵל סֵפֶר תּוֹרָה קִיבֵּל שְׂכַר כּוּלָּן שְׂכַר כּוּלָּן סָלְקָא דַּעְתָּךְ אֶלָּא אֵימָא קִיבֵּל שָׂכָר כְּנֶגֶד כּוּלָּן
And Rabbi Shefatya said that Rabbi Yoḥanan said: If ten people read from the Torah, the greatest among them should roll (golel) the Torah scroll, for this is the most distinguished honor. And the golel (one who rolls) takes the reward of all of them, as Rabbi Yehoshua ben Levi said: If ten people read from the Torah, the golel receives the reward of all of them. The Gemara asks: Can it enter your mind to say that he actually receives the reward of all of them? Why should all the others forfeit their reward? Rather, say instead: He receives a reward equivalent to that of all of them.
Apparently there was a tradition that the final Torah reading was reserved for the most respected and learned person in shul, and that person would be honored with the task of rolling up the Torah, a role referred to as "Golel." At this time, Golel meant rolling the Torah, not wrapping the Torah after lifting it (as we do today). The tradition of giving this honor to a respected person devolved into ugly competition. [See Talbi pp182f]
(ואח"כ מגביה את התורה ואומר אחד אלהינו גדול אדונינו קדוש ונורא שמו לעולם ועד ומתחיל בנעימה ואומר ה׳ הוא האלהים ה׳ שמו ואחריו עונין אותו העם וחוזר וכופלו ועונין אותו פעמים): מיד גולל ספר תורה עד שלשה דפין ומגביהו ומראה פני כתיבתו לעם העומדים לימינו ולשמאלו ומחזירו לפניו ולאחריו שמצוה לכל האנשים ולנשים לראות הכתב ולכרוע ולומר (דברים ד׳:מ״ד) וזאת התורה אשר שם משה לפני בני ישראל (או) (תהילים י״ט:ח׳) תורת ה׳ תמימה משיבת נפש והמפטיר נותנו לחזן הכנסת והוא חוזר התורה לכסות ראשי הקרואים שאין כבוד להיות התורה יחידה:
[Probably 8th c Israel]
After [taking the Torah from the ark and reciting various verses of praise, but before the Torah reading, the maftir] elevates the Torah scroll and says: ‘One is our God, great is our Lord, holy and revered is His name for ever and ever’. Then he begins to chant, ‘The Lord is God, the Lord is His name’. The congregation says it after him in response; then he repeats it twice and the congregation responds twice. The scroll of the Torah is immediately unrolled a space of three columns and is elevated [magbihu] so as to show the face of the script to the people standing on the right and on the left, and turned towards the front and towards the rear; for it is a mitzvah for all men and women to see the script, to bend their knees and exclaim, ‘And this is the Torah which Moses set before the children of Israel [Deut 4:44] [or] The Torah of the Lord is perfect, restoring the soul’ [Ps 19:8]. The mafṭir then hands it over to the superintendent of the Synagogue services who returns it to the first of those who are to be called to the reading, because it is not an honor for the Torah to be left alone.
מראה פני כתיבת ס"ת לעם העומדים לימינו ולשמאלו ומחזירו לפניו ולאחריו שמצוה על כל אנשים ונשים לראות הכתב ולכרוע ולומר וזאת התורה וכו' תורת ה' תמימה וכו': הגה ונהגו לעשות כן אחר שקראו בתורה אבל כשמוציאין אותו אומר הש"ץ גדלו והקהל אומרים רוממו כו' אב הרחמים הוא ירחם עם עמוסים וכו'... ויש להחזיק התורה בימין (מהרי"ל)
[16th c Italy] One shows the writing of the Torah scroll to the people standing to his right and to his left, and then turns it to those before him and those behind him, for it is a mitzvah for all the men and women to see the writing and to bow and to say "Ve'zot Hatorah... Torat Hashem Temima etc." ("And this is the Torah... Hashem's Torah is Perfect etc."). Rem"a: And the custom is to do this after they read from the Torah, but when they remove it [from the Ark] the prayer leader says "Gad'lu" and the congregation answers "Romemu... Av Harachamim Hu Yeracheim Am Amusim etc."("Exalt... May the Father of mercy have compassion on the people borne by Him etc.")...And one [who carries the Torah] should hold the Torah on his right (Mahari"l).
(א) דיני גלילת ספר תורה:
...גדול שבאותם שקראו בתור' גולל ורגילין לקנותו בדמים יקרים לחבב המצוה:
(ב) יכול מי שירצה לקנות להושיט המעילין להגולל ואין הגולל יכול למחות בו כי אף על פי שקנה הגלילה לא קנה ליקח המעילים: [וכן במקומות הנוהגין לקנות הוצאה והכנסה אין הש"ץ יכול למחות כי אין זה שייך לחזנים]:
(1) The Laws of Rolling the Torah Scroll. ...The greatest among those who received an aliyah does the rolling, and the custom is to buy [the privilege] with a large sum of money to make the mitzvah beloved.
(2) Anyone who wants may purchase [the privilege] of handing the cover to the one who rolls the Torah scroll, and the one rolling may not protest because even though he purchased the [privilege of] rolling, he did not purchase [the privilege] to take them. [And similarly, in those places whose custom is to purchase [the privilege] of removing and returning [the Torah from/to the ark], the prayer leader may not protest, because that [privilege] is not applicable to the chazzan].
V'zot HaTorah, p194
The early sources about the hagbah tradition teach that it was originally done prior to the Torah reading. The Ahkenazi practice to lift the Torah after the reading was a result of the fact that the final (seventh) aliyah reader would roll the Torah at the end of the reading. Because the Golel honor was auctioned off for a handsome sum, there was a need to create an additional opportunity for rolling the scroll for the person who purchased it, and lifting / opening the Torah after the reading created that opportunity.
צדיק אחד היה רגיל להתפלל בר"ה ויה"כ כי הצבור בחרו בו לפי שהיה צדיק. ובסוף ימיו לא רצה להתפלל. אמרו לו למה לא תתפלל עתה כמו בכל שנה. אמר להם אם יתפלל וימות יאמר בני אני רוצה להתפלל תחת אבי ואני חפץ שבימי יתפלל אדם הגון תבקשו לפלוני בן פלוני שהוא צדיק וחכם בתורה וגומל חסדים. ועל זה נענש עלי הכהן שהיה לו להעביר בניו ולבחור בכהנים צדיקים וכתיב לא מיחה בהם לפני בני ישראל כי המצות אינן ירושה אע"פ שכתוב מורשה קהלת יעקב וכתיב (תהלים סא ו) ירשת יראי שמך נחלתי עדותיך כגון שממלא מקום אבותיו כגון מלך וכהן גדול אבל מצות אינן ירושה אלא הזקן הצדיק בעיר הוא יקשור ספר תורה ולא אחר שנאמר (ירמיהו ב ח) ותופשי התורה לא ידעונו וראוי לצדיק זקן להתפלל בר"ה ויום הכפורים ואם רואה שמחלוקת עושים עליו שלא להתפלל לא יתפלל אע"פ שאחר שאינו הגון יורד לפני התיבה להתפלל זהו חטאת אותם שיכולין למחו' ואינן מוחים:
(13th c Germany)
One righteous person was accustomed to lead prayer on the high holidays because the community chose him due to his reputation of righteousness. But toward the end of his life he didn't want to lead anymore. They asked, why aren't you leading this year, like in past years? He replied: if I lead the prayers until I die, my son will then say that he wants to take my place in leading the prayers. But my hope is that in my days, someone decent will lead the prayers. Please ask someone who is righteous, wise in Torah, and compassionate...Mitzvot are not inherited, even though we read in the Torah [Deut 33:4] that Torah is the "heritage (morasha) of the congregation of Jacob" and in Psalms [61:6] "O God, You have heard my vows; grant the request (yerushat) of those who fear Your name" and [119:111] "Your decrees are my eternal heritage (nachalati)." Inheritance may be appropriate for rulers and high priests, but mitzvot cannot be inherited. Instead the most respected elder of a community is the one chosen to tie [wrap] the Torah. Jeremiah 2:8 warns us, "The guardians of the Teaching ignored Me." An elder righteous person should be chosen to lead the prayers of high holy days...
(ה) וַיִּפְתַּ֨ח עֶזְרָ֤א הַסֵּ֙פֶר֙ לְעֵינֵ֣י כׇל־הָעָ֔ם כִּֽי־מֵעַ֥ל כׇּל־הָעָ֖ם הָיָ֑ה וּכְפִתְח֖וֹ עָֽמְד֥וּ כׇל־הָעָֽם׃
(4) Ezra the scribe stood upon a wooden tower made for the purpose, and beside him stood Mattithiah, Shema, Anaiah, Uriah, Hilkiah, and Maaseiah at his right, and at his left Pedaiah, Mishael, Malchijah, Hashum, Hashbaddanah, Zechariah, Meshullam. (5) Ezra opened the scroll in the sight of all the people, for he was above all the people; as he opened it, all the people stood up.