אמר רבא דכולי עלמא בר"ח אתו למדבר סיני כתיב הכא (שמות יט, א) ביום הזה באו מדבר סיני וכתיב התם (שמות יב, ב) החדש הזה לכם ראש חדשים מה להלן ר"ח אף כאן ר"ח ודכולי עלמא בשבת ניתנה תורה לישראל כתיב הכא (שמות כ, ז) זכור את יום השבת לקדשו וכתיב התם (שמות יג, ג) ויאמר משה אל העם זכור את היום הזה מה להלן בעצומו של יום אף כאן בעצומו של יום.... בתרי בשבא איקבע ירחא בתרי בשבא לא אמר להו ולא מידי משום חולשא דאורחא בתלתא אמר להו ואתם תהיו לי בארבעה אמר להו מצות הגבלה בה' עבוד פרישה
Rava said: Everyone agrees that the Jews came to the Sinai desert on Rosh Chodesh, as it is written: “In the third month after the children of Israel were gone forth out of the land of Egypt, the same day came they into the wilderness of Sinai” (Exodus 19:1).... And everyone agrees that the Torah was given to the Jewish people on Shabbos.... On the second day of the week the New Moon was established, and on the second day of the week Moshe did not say anything to them due to the weariness caused by their journey. On the third day of the week, God said to them: “And you shall be to Me a kingdom of priests and a holy nation” (Ex.19:6). On the fourth day of the week, God said to them the mitzva of setting boundaries around Mount Sinai. On the fifth day of the week, the husbands and wives separated from one another.
ר"ן סוף פסחים
ובהגדה גם כן אמרו בשעה שאמר להם משה תעבדון את האלקים על ההר הזה אמרו לו ישראל משה רבינו אימתי עבודה זו אמר להם לסוף חמשים יום והיו מונים כל אחד ואחד לעצמו
Ran, end of Pesachim
When Moshe said to the Jewish people, "You will serve Hashem on this mountain," they said, "Moshe Rabbeinu! When will this service take place?!" Moshe said, "In 50 days from now." [Out of great anticipation] each of them counted the days.
והצצתי בענין ואראה עוצם חשקו יתברך בישראל... אכן זה יגיד עוצם חשק נתינת התורה לישראל..
I gazed into the concept, and I saw the tremendous yearning that the Almighty has for the Jewish people... His yearning to give the Torah to the Jewish people is very great, indeed...
אך אם מוציא בשפתיו אף על פי שאינו מבין אפילו פירוש המלות מפני שהוא עם הארץ הרי זה מקיים מצות ולמדתם ולפיכך כל עם הארץ מברך ברכת התורה בשחר לפני הפסוקים וכן כשעולה לספר תורה:
...if one articulates the words of Torah, even if one does not understand what they mean, one nevertheless fulfills the mitzvah to learn Torah. Therefore, [even] an ignoramus should recite the blessings over the Torah every morning, as well as when receiving an aliyah.
שוע"ר או"ח סו"ס תצד
מיד אחר ראש חדש התחיל משה להתעסק עמהם בענין קבלת התורה
Alter Rebbe's Shulchan Aruch, O.C. 494:20
Immediately after Rosh Chodesh, Moshe began to be involved with them with regards to receiving the Torah.