Shulchan Arukh, Orach Chayim 114:5

דין הזכרת הרוח וגשם וטל. ובו ט' סעיפים:
מתחילין לומר בברכה שנייה משיב הרוח ומוריד הגשם בתפלת מוסף של י"ט האחרון של חג ואין פוסקין עד תפלת מוסף של י"ט הראשון של פסח: The Laws of Mentioning The Wind And Rain And Dew. Containing 9 Se'ifim
We start saying "He makes the wind blow and rain fall" in the second blessing [of the Amidah] during the Mussaf prayer of the last day of Yom Tov of the Holiday [of Sukkot] (ie. Shemini Atzeret), and we do not stop [saying it] until the Mussaf prayer of the first day of Pesach.

אסור להזכיר הגשם עד שיכריז ש"ץ (וי"א שקודם שמתחילין מוסף מכריז השמש משיב הרוח וכו' כדי שהצבור יזכירו בתפלתן וכן נוהגין) (מרדכי רפ"ק דתענית) הלכך אף אם הוא חולה או אנוס לא יקדים תפלתו לתפלת הצבור לפי שאסור להזכיר עד שיאמר ש"ץ אבל אם יודע שהכריז ש"צ אע"פ שהוא לא שמע מזכיר ומטעם זה הבא לב"ה והציבור התחילו להתפלל יתפלל ויזכיר אע"פ שהוא לא שמע מש"ץ: It is forbidden to mention rain until the prayer leader announces it. (And some say that before they start the Mussaf prayer, the attendant announces "He makes the wind blow etc.", so that the congregation should remember [to say it] in their prayer, and that is the custom (Mordechi in the beginning of the first chapter of Tractate Taanit)) Therefore, even if one is sick or has an extenuating circumstance [that prevents him from praying in the synagogue], he should not say his [Amidah] prayer before the congregation's [Amidah] prayer since it is forbidden to mention [rain] until the prayer leader does. But if he knows that the prayer leader announced it, even though he [himself] did not hear it, he may mention it. And for this reason, if one came [late] to synagogue and the congregation had [already] started to pray, he should pray and mention [rain], even though he did not hear [the announcement] from the prayer leader.

אם אמר משיב הרוח [בימות החמה] או לא אמרו בימות הגשמים אין מחזירין אותו וכן בטל אם הזכירו בימות הגשמים או לא הזכירו בימות החמה אין מחזירין אותו: הגה ואנו בני אשכנז לא מזכירין טל לא בימות החמה ולא בימות הגשמים רק אומרים בימות החמה רב להושיע מכלכל חיים וכו' [טור] י"א שש"צ פוסק להזכיר בתפלת מוסף י"ט הראשון של פסח אבל הקהל מזכירין ואין פוסקין עד מנחה ששמעו כבר מש"ץ שפסק בתפלת המוסף וכן נוהגין: If one said "He makes the wind blow etc." [in the summer time] or if he did not say it in the winter time, he does not repeat it. And similarly [regarding saying] "dew", if he said it in the winter time or if he did not say it in the summer time, he does not repeat it. Rem"a: And we Ashkenazim do not mention "dew", not in the summer time and not in the winter time; rather, in the summer time we just say "the Powerful One to deliver us. Sustainer of the living" (ie. we do not mention dew in between those) [Tur]. There are those who say that the prayer leader stops mentioning [rain] in the Mussaf prayer on the first day of Yom Tov of Pesach, but the congregation does mention it [in Mussaf]; and they do not stop until Mincha, for by then they already heard the prayer leader stop mentioning it in [the repetition of] the Mussaf prayer. And that is our custom.

אם אמר מוריד הגשם בימות החמה מחזירין אותו וחוזר לראש הברכה ואם סיים הברכה חוזר לראש התפלה ואפילו במקום שצריכים גשם בימות החמה אם הזכיר גשם במקום טל מחזירין אותו [וכן אם הזכיר גשם וטל נמי מחזירין אותו] [ב"י בשם הרמב"ם והרא"ש והטור]: If one said "Who makes rain fall" in the summer time, he must pray again; and he goes back to the beginning of the blessing (ie. "Ata Gibor" - the second blessing of the Amidah). And if he concluded the blessing, he must go back to the beginning of the [Amidah] prayer. And even if he is in a place where rain is needed in the summer time, if he mentioned rain instead of dew, he must go back. [And similarly, if he mentioned rain and dew, he must go back] [Beit Yosef in the name of the Rambam, the Ro"sh, and the Tur]

בד"א שמחזירין אותו כשלא אמר בימות הגשמים מוריד הגשם היינו כשסיים כל הברכה והתחיל ברכה שאחריה ואז חוזר לראש התפלה אבל אם נזכר קודם שסיים הברכ' יאמר במקום שנזכר ואפי' אם סיים הברכ' ונזכר קודם שהתחיל אתה קדוש אין צריך להחזיר אלא אומר משיב הרוח ומוריד הגשם בלא חתימה: הגה שלשה ברכות הראשונות חשובות כאחת ובכל מקום שטעה בהם חוזר לראש בין שהוא יחיד בין שהוא צבור: [טור] In what circumstance are we referring to [when we say] that he must go back when he did say "Who makes rain fall" in the winter time? It's when he concluded the entire blessing (ie. the blessing of "Mechayei hameitim" - "Who revives the dead") and began the next blessing (ie. "Ata Kadosh" - "You are Holy"), then he must go back to the beginning of the [Amidah] prayer. But if he remembered before he concluded the blessing, he mentions it right where he remembered. And even if he did conclude the blessing but he remembered before he began [the blessing of] "Ata Kadosh", he does need to go back, rather he should say "He makes the wind blow and the rain fall" [right there], without [the need to] "seal it" [with a blessing]. Rem"a: The first three blessings [of the Amidah] are considered as one [long blessing], and any place where one made a mistake within them, he must return to the beginning [of the Amidah], whether he is by himself or he is with the congregation [Tur].

בכל מקום שאנו אומרים חוזר לברכה שטעה בה ה"מ שטעה בשוגג אבל במזיד ומתכוין חוזר לראש: Any time we say that one must go back to the blessing that he a made a mistake in, that's referring to when he made a mistake by accident, but if was on purpose and with intent, then he must go back to the beginning [of the Amidah].

בימות החמה אם נסתפק אם הזכיר מוריד הגשם אם לא עד ל' יום בחזקת שהזכיר הגשם וצריך לחזור: הגה וה"ה לדידן דאין מזכירין טל בימות החמה אם נסתפק לו אם אמר מוריד הגשם בימות הגשמים כל ל' יום חוזר דודאי אמר כמו שרגיל והרי לא הזכיר לא טל ולא גשם לאחר ל' יום אינו חוזר [ד"ע]: In the summer time, if one was in doubt if he [mistakenly] mentioned "Who makes rain fall" or not - up until 30 days, it is presumed that he mentioned the rain and and he is required to go back [and pray again]. Rem"a: And the same applies to us who do not mention "dew" in the summer time; if one is in doubt whether he said "Who makes rain fall" in the winter time - within 30 days, he must go back, for it's certain that he said what he is accustomed to say, and behold he did not mention "dew" nor "rain". [But] after 30 days he does not go back. [His own opinion]

אם ביום ראשון של פסח אומר ברכת אתה גבור עד מוריד הטל צ' פעמים כנגד ל' יום שאומר אותה ג' פעמים בכל יום משם ואילך אם אינו זוכר אם הזכיר גשם הרי הוא בחזקת שלא הזכיר גשם ואינו צריך לחזור: הגה וכן לדידן אם אמר עד מכלכל חיים בלא משיב הרוח ומוריד הגשם שמזכירין בימות הגשמים וכן אם אמר בשמיני עצרת צ' פעמים אתה גבור עד מוריד הגשם אם נסתפק אחר כך אם הזכיר או לא חזקה שהזכירו [דעת עצמו]: If, on the first day of Pesach, one recited the [words of the] blessing of "Ata Gibor" ("You are mighty") until [and including the words] "Morid Ha'tal" ("Who causes dew to descend") 90 times corresponding to the 30 days where he would say it 3 times in each day - from then on, if he doesn't remember if he mentioned rain, it is presumed that he did not mention rain and he does not need to go back [and pray again]. Rem"a: And similarly for us, if he recited [90 times] up until [and including the words] "Mechalkel chaim" ("Sustainer of the living") without [saying] "Mashiv ha'ruach u'morid ha'geshem" ("He makes the wind blow and rain fall") which we say in the winter time, or if on Shmini Atzeret he said, 90 times, "Ata Gibor" until [and including] "Morid hageshem" - if he was in doubt afterwards if he mentioned it or not, it is presumed that he did mention it. [His own opinion]