Pi In Judaism: The Theological Dilemma of Approximation
by Noam Buckman
Based on the article: Tsaban, Boaz, and David Garber. "On the Rabbinical Approximation of π." Historia Mathematica 25.1 (1998): 75-84.

What is Pi?

The ratio of the circumference of a circle to its diameter.

Π=Circumference/Diameter or C/D

Derivation of Pi: The ratio between circumference and diameter
עגולה רואין אותה כאילו היא מרובעת: הא תו למה לי סיפא איצטריכא ליה כל שיש בהיקיפו ג' טפחים יש בו רחב טפח מנא הני מילי א"ר יוחנן אמר קרא (מלכים א ז, כג) ויעש את הים מוצק עשר באמה משפתו עד שפתו עגול סביב וחמש באמה קומתו וקו שלשים באמה יסוב אותו סביב והא איכא שפתו אמר רב פפא שפתו שפת פרח שושן כתיב ביה דכתיב (מלכים א ז, כו) ועביו טפח ושפתו כמעשה כוס פרח שושן אלפים בת יכיל והאיכא משהו כי קא חשיב מגואי קא חשיב
The mishna continues: If the cross beam is round, one considers it as though it were square. The Gemara asks: Why do I need this clause as well? Similar cases were already taught in the mishna. The Gemara answers: It was necessary to teach the last clause of this section, i.e., the principle that any circle with a circumference of three handbreadths is a handbreadth in diameter. The Gemara asks: From where are these matters, this ratio between circumference and diameter, derived? Rabbi Yoḥanan said that the verse said with regard to King Solomon: “And he made a molten sea, ten cubits from the one brim to the other: It was round all about, and its height was five cubits; and a line of thirty cubits did circle it round about” (I Kings 7:23). The Gemara asks: But isn’t there its brim that must be taken into account? The diameter of the sea was measured from the inside, and if its circumference was measured from the outside, this ratio is no longer accurate. Rav Pappa said: With regard to its brim, it is written that the brim is as the petals of a lily, as stated in the verse: “And it was a handbreadth thick; and its brim was wrought as the brim of a cup, as the petals of a lily; it contained two thousand bat (I Kings 7:26). The brim was very thin. The Gemara asks: But nevertheless, isn’t there the minimal amount of the thickness of the brim? The Gemara answers: When one calculates the circumference, he calculates from the inside.
(כג) וַיַּ֥עַשׂ אֶת־הַיָּ֖ם מוּצָ֑ק עֶ֣שֶׂר בָּ֠אַמָּה מִשְּׂפָת֨וֹ עַד־שְׂפָת֜וֹ עָגֹ֣ל ׀ סָבִ֗יב וְחָמֵ֤שׁ בָּֽאַמָּה֙ קוֹמָת֔וֹ וקוה [וְקָו֙] שְׁלֹשִׁ֣ים בָּֽאַמָּ֔ה יָסֹ֥ב אֹת֖וֹ סָבִֽיב׃
(23) Then he made the tank of cast metal, 10 cubits across from brim to brim, completely round; it was 5 cubits high, and it measured 30 cubits in circumference.

כתיב וקרי

כתיב: וקוה שלשים באמה יסב אתו סביב

קרי: וקו שלשים באמה יסב אתו סביב

ק–ו–ה=111

ק–ו=106

קו/קוה=111/106

=1.047

1.0471698x3=3.141509

How Could The Biblical/Rabbinical Value For Pi (Π=3) Be Inaccurate? The Mystical Pi (מתתיהו הכהן מונק) ​

דתנן עשרה נסים נעשו בבית המקדש... ותו ליכא והתניא רב שמעיה בקלנבו שברי כלי חרס נבלעין במקומן ואמר אביי מוראה ונוצה ודישון מזבח הפנימי ודישון המנורה נבלעין במקומן

As we learned in a mishna: Ten miracles were performed in the Temple. ...Apparently there were not actually ten miracles performed in the Temple. The Gemara answers: There are two other miracles in the Temple, as it was taught in a baraita: ...The Gemara asks: But are there no more? Has not R. Shemaya of Kalnebo taught that the fragments of earthenware were swallowed up in the very place [where they were broken];...Apparently, there were more than ten miracles in the Temple.

The Maimonidean (Lambert ) Pi

(ה) היתה של קש ושל קנים רואין אותה כו':
יש לך לדעת כי יחוס אלכסון העגולה אל המסבב אותה בלי ידוע וא"א לדבר בו לעולם באמת וחסרון זו ההשגה אינה מאתנו כמחשבת הכת הנקראת גהלי"ה אבל הוא בטבעי זה הדבר בלי ידוע ואין במציאותו שיושג אבל (ידוע) [יודע] זה בקרוב וכבר חברו חכמי התשבורת לזה חבורים לידע יחוס האלכסון אל המסבב בקרוב ודרך המופת בזה הקרוב אשר עליו סומכין חכמי החכמות הלמודיות הוא יחוס האחד לשלשה ושביעית וכל עגולה שיהיה באלכסון שלה אמה יהיה בהיקפה ג' אמות ושביעית בקרוב ולפי שזה לא יושג לעולם אלא בקרוב לקחו הם בחשבון הגדול ואמרו כל שיש בהיקפו ג"ט יש בו רחב טפח וסמכו ע"ז במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה:

You need to know that the ratio of the circle’s diameter to its circumference is not known and it is never possible to express it precisely. This is not due to a lack in our knowledge, as the sect called Gahalia thinks; but it is in its nature that it is unknow, and there is no way [to know it], but it is known approximately. The geometers have already written essay about this, that is, to know the ratio of the diameter to the circumference approximately, and the proofs for this. This approximation which is accepted by the educated people is the ratio of one to three and one seventh. Every circle who diameter is one handbreadth, has in its circumference three and one seventh handbreadths approximately. As it will never be perceived by approximately, they [the Hebrew sages] too the nearest integer and said that every circle whose circumference is three fists is one fist wide, and they contented themselves with this for their needs in the religious law.

תוספות הרא’ש:

כל שיש בהקיפו שלשה יש בו רוחב טפח מנא הני מילי. תמיה לי מה שייך למיבעי הכא מנא הני מילי בדבר הנראה לעינים ואדם יכול לעמוד עליו יביאו דבר שהוא רחב טפח ונמדוד ההיקף, ונ"ל לפרש לפי שאין הדבר מכוון שההיקף הוא יותר מג' טפחים קא בעי תלמודא מה"מ מנין לקחו חכמים ליתן גבול ומדה לדבר אחד אע"פ שאינו מכוון אלא שהדבר קרוב להיות מכוון, ומייתי ראיה דקרא נמי קא עביד הכי דים של שלמה שהיה רחב עשר וקאמר קרא דקו שלשים אמה יסוב אותו אע"פ שהוא ארוך יותר,

The Halachik Pi

[The gemarah states:] For every circle that has a circumference of 3 amos will have a width of 1 amah, where do we learn this from.” It is surprising to me that the Rabbis felt it necessary to find a source for the ratio (pi) for something that is so obvious to us, a person can just measure it, all he has to do is get something circular with a diameter of 1 amah, and measure the circumference. And it seems to me to explain that since you cannot ever have an exact pi (it’s irrational), the Rabbis need a source for what we may approximate pi as (i.e. 3.1415, 3.1, 3, etc.) So they bring proof from the Torah, the water basin of Solomon’s temple to show they can approximate pi as 3. And this is an approximation, since Solomon’s basin must have been more than 30 amos, the ratio 3 was not an exact ratio.

שו"ת תשב"ץ חלק א סימן קסה

The Pedagogical Pi

והטעם בזה לפי שלא ניתנה התורה למלאכי השרת כמ"ש בברכו' (כ"ה ע"ב) ובקדושין (נ"ד ע"א) על ענינים אחרים ושמא כך נמסרה להם הלכה שיתנהגו על עיקרים אלו אע"פ שיש בהם קירוב כאלו הם מדוקדקים ויש סמך בזה מים שעשה שלמה שהלך בו הכתוב על דרך קירוב כמו שביארתי זהו אחד משני דברי' שאפשר לומר בזה או שנאמר שהם כשנשאו ונתנו בזה על עיקרים אלו עשו זה לקרב ההבנה אל התלמידים לפי שלעולם ישנ' אדם לתלמידו בדרך קצרה כדאיתא בפ"ק דפסחים (ג' ע"ב) ובפרק אלו טרפות (ס"ג ע"ב) אבל לענין מעשה יש לנו לדקדק הענין ע"פ הדקדוק האמתי ומסרוהו לחכמים יודעי השיעורי' נמצא כי ההלכה מסור' לתלמידים המתחילים והמעשה מסור אל החכמים לדקדקו על פי האמת וזה הדרך ישר בעיני לתקון דבריהם ז"ל

כדאמר רב הונא אמר רב ואמרי לה אמר רב הונא אמר רב משום ר"מ לעולם ישנה אדם לתלמידו דרך קצרה

which Rav Huna said that Rav said, and some say it was Rav Huna who said that Rav said in the name of Rabbi Meir: A person should always teach his student in a concise manner.