What was the logic behind Eliezer's request?

אותה הוכחת. כלו' אותה ראויה ליצחק שבבית אדוני באים אורחים תמיד וצריך שתהא אשה נעימה ועינה יפה לאורחים:

והיה הנערה (ר"ל הנערה שתמצא חן בעיני מצד יפיה) אשר אמר אליה הטי נא כדך ואשתה, זה. ג] שאשאל דוקא שהיא תטה הכד שזה טורח גדול שתצטרך להוריד הכד מעל שכמה אל ידיה להשקות אותי, והלא ראוי שתכעס ע"ז ותאמר הט אתה את הכד שעל שכמי ושתה, שלא אצטרך להוריד הכד מעל שכמי. ד], שתאמר אלי שתה וגם גמליך אשקה, שזה סימן על חכמתה וטוב לבה, שאז ראוי שתחשוב בלבה האיש הזה בודאי יש לו איזה כאב בידיו, שלכן אינו יכול לשאוב מן העין ולא להטות הכד בעצמו, ועפ"ז תחשוב אם אין לו כח לשאוב מים לעצמו כ"ש שאין לו כח לשאוב להגמלים, ובזה תתעורר בנדבת לבה ובטובה שתחוס על צער בע"ח להשקות גם הגמלים. אותה הוכחת ר"ל מצד שאני עשיתי זאת לסימן ולהוכחה שהוא הזווג של יצחק, יתברר בהוכחה וברור שהיא זווג של יצחק, ובמה שזה עדות שהיא גומלת חסד בהכנסת אורחים שזו מדתו של אברהם, א"כ בה אדע כי עשית חסד עם אדני, להכניס בביתו אשה יראת ה' עושה צדקה וחסד:

יש להרגיש אמאי הזכיר יצחק והול"ל בן אדוני כמו שאמר אחר כך ועוד צריך להבין אומרו ובה אדע כי עשית חסד עם אדוני. ואפשר במה שידוע כי יצחק מדת הגבורה. והאשה סתמא היא דין דינא דמלכותא דינא. ואם אשת יצחק היא דינא קשיא לא יכונו יחדיו דין קשה עם דין קשה ובהתחברם עוד יתחזק ויגביר הדין מאד מאד. ומזה ירע לאברהם אבינו עליו השלום אשר הוא רח"ם רחמתי"ם וזה שמו אברהם גימטריא רח"ם הן חונן והן מרחם ואהבת חסד גדול יתר מאד ואיך יוכלו לשבת יחדיו. אבל אם אשת יצחק תהיה מחסד שבדין מה טוב ומה נעים כי שותף מדת הדין הקשה בחסד שבדין ויהיה מיתוק והדין מזוג:

והיה הנערה אשר אומר אליה הגמיאיני נא מעט מים כו' וגם גמליך אשקה אותה הוכחת. י"ל דאע"ג דהכל היה בדרך ניחוש וסימן עכ"ז היה בדרך חכמה קצת. כי רצה לנסות אותה בכל המדות שלה אם טובות הנה ואם הם בהשכלה. ראשונה אם טובה היא במזגה ליתן לשתות לאיש שאינה מכרת אותו ובפרט כי לא היה שם צלוחית לשאוב מן הכד רק שתה מהכד בעצמו וכמו שאמר הגמיאיני נא מעט מים מכדך ואם איננה טובת המזג לא תתן, ובפרט מי יודע אם לא ימאס המים ברוק שבפיו ואם יש לו פה נקי מחולאת וכדומה, ואחר כך יראה מה תעשה במים שנתותרו אם תשאם להבית אינה בהשכלה כי אולי באמת פיו אינו נקי והטיל רוק בהכד. ואם היא משכלת אין לה לישא מותר המים לביתה. ואם תשפוך אותם הרי היא מבזה אותו כי בזיון גדול הוא לו ששופכת המים יען שתה הוא מהם, וע"כ עצה היעוצה שתאמר לו גם גמליך אשקה וידע בזה כי טובת המזג היא וגם בעלת שכל וגם בעלת דרך ארץ שלא לפגוע בכבוד של אדם. (וכמדומני שראיתי כתיב זה על ספר שכחתי שמו ואפשר כתוב שם בשינוי או בקיצור). וגם אם יש לה שלש מדות הללו עכ"ז אין זה ראיה שראויה היא לבית אברהם ליצחק ולזה התפלל לה' שיעלו לו הסימנים הללו שעושה לאותה שהוכיח ה' ליצחק. וזהו שהשיבה לו רבקה וגם לגמליך אשאב עד אם כלו לשתות, (לא כמו שאמר העבד שתאמר וגם לגמלך אשקה) שחסתה על כבודו פן יסבור ששפיכת המים אל השוקת הוא רק משום דאיננה רוצה לישא המים להבית, ולזה אמרה לו כי גם תשאב עוד מים אחרים עבור הגמלים עד כי כלו לשתות ובזה הניחה דעתו בכבוד:

(ג) ובדרך פשוטו נראה, שלקח לו אליעזר סימן זה לומר, אני אשאל ממנה כי אם הטי נא כדך ואשתה, ולא אזכור לה הגמלים ולא אבקש עליהם, ואם היא תשיב אמריה ותאמר שתה וגם גמליך אשקה ותהיה חסה על הגמלים יותר ממני, ודאי רוח אלהים דבר בה שהגמלים יהיו שלה כשישא אותה יצחק, ועל כן היא חסה על הגמלים יותר ממני כי אינם שלי ולסוף יהיו שלה וחסה עליהם כי יהיו ממונה, ומה שאמר החריש לדעת ההצליח ה' דרכו אם לא כי יש לך אדם מבטיח ואינו עושה ומתהלל במתת שקר, על כן לא היה בטוח בסימן זה עד אם כלו לשתות אז סמך על הסימן ונתן לה הנזם והצמידים.